f(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ]

04.04.2021, 20:40

kiritsugu

f(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ]

Meine Frage:
Hallo alle zusammen.

Ich muss den Definitionsbereich für f(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ] berechnen, bzw. weiß ich schon was rauskommt. Nämlich von Wolfram Alpha.

Meine Ideen:
Den Wert den man für ln(...) einsetzt muss größer Null sein. Also tan( (2x+pi) /4)>0, das kann man so wie es da steht erstmal nicht lösen. Aber wenn man weiß wie der Tangens aussieht, dann sieht die Sache schon wieder ganz anders aus. Zum einen ist er PI-periodisch und für (0,PI/2) positiv. Außerdem ist er surjektiv für (0,PI/2).
Man könnte jetzt also ansetzen: 0 < (2x+PI)/4 < PI/2 links und rechts PI*n addieren und man hat es....Leider nicht, es kommt nämlich wohl 2*PI*n - 5*PI/2 < x < 2*PI*n - 3*PI/2 raus. Wie komme ich zu diesem Ergebnis?

Grüße

kiritsugu

04.04.2021, 20:54

Leopold

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Der Tangens ist positiv in allen Intervallen $\begin{align*} \left( k \pi , \left( k + \frac{1}{2} \right) \pi \right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} k \in \mathbb{Z} \end{align*}$ . Jetzt mußt du

$\begin{align*} k \pi < \frac{1}{4} \left( 2x + \pi \right) < \left( k + \frac{1}{2} \right) \pi \end{align*}$

noch nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auflösen.

04.04.2021, 21:43

kiritsugu

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Ja das dacht ich auch, du hast nicht zufällig ne Idee wie ich auf 2*PI*n - 5*PI/2 < x < 2*PI*n - 3*PI/2 komme? Bei mir kommt für deinen Ansatz nämlich PI(2k-1/2) < x < PI(2k+1/2) raus.

04.04.2021, 21:48

Leopold

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Das ist nur eine Indexverschiebung: $\begin{align*} k = n-1 \end{align*}$ . Mit $\begin{align*} n \end{align*}$ durchläuft auch $\begin{align*} k \end{align*}$ alle ganzen Zahlen.

04.04.2021, 22:10

kiritsugu

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Ach doch einfach nur verschoben, dann hab ich mich vertan, vielen Dank. Du bist der Hit.
Eine Frage hab ich noch dann lass ich dich in Ruhe. Der Wertebereich ist ja ganz R, richtig? Kann ich das mit der Definition begründen? Also der Wertebereich ist ja das was für y rauskommen kann, unter der Berücksichtigung, dass sowieso nur das rauskommen kann, was für x eingesetzt werden darf. Deshalb ist es egal wenn die Funktion für y an einigen Stellen nicht definiert ist, denn das was dafür eingesetzt wurde ist ja im Definitionsbereich ausgeschlossen. Stimmt das so, mich verwirrt nämlich immer das y an so vielen Stellen nicht definiert ist?

05.04.2021, 09:13

Leopold

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1. Als Verkettung stetiger Funktionen ist $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig.

2. Wir betrachten $\begin{align*} f \end{align*}$ im Intervall $\begin{align*} I = \left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right) \end{align*}$ . Es gilt:

$\begin{align*} s = \frac{1}{4} \left( 2x + \pi \right) \to 0+0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to - \frac{\pi}{2}+0 \end{align*}$

$\begin{align*} t = \tan(s) \to 0+0 \ \ \mbox{für} \ \ s \to 0+0 \end{align*}$

$\begin{align*} y = f(x) = \ln(t) \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0+0 \end{align*}$

3. Ähnlich zeigt man:

$\begin{align*} f(x) \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to \frac{\pi}{2}-0 \end{align*}$

4. Nach dem Zwischenwertsatz folgt: $\begin{align*} f(I) = \mathbb{R} \end{align*}$

Ein paar Bemerkungen zum Schluß. Man kann den Funktionsterm auch anders schreiben:

$\begin{align*} f(x) = \ln \left( \tan \left( \frac{1}{4} \left( 2x + \pi \right) \right) \right) = \ln \left( 1 + \sin(x) \right) - \ln \left( \cos(x) \right) \end{align*}$

Und das ist eine Stammfunktion von

$\begin{align*} f'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \end{align*}$

Da $\begin{align*} f' \end{align*}$ gerade und $\begin{align*} f(0)=0 \end{align*}$ ist, ist $\begin{align*} f \end{align*}$ ungerade.

05.04.2021, 11:47

kiritsugu

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Klasse, danke nochmal. Warum kann man den Zwischenwertsatz nehmen? Gilt der nicht nur für abgeschlossene Intervalle [a,b]?

05.04.2021, 12:43

kiritsugu

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Dann wäre das für die andere Seite so richtig oder?:

s = 1/4 (2x+PI) --> PI/2 - 0 für x --> PI/2 - 0

t = tan(s) --> unendlich für s --> PI/2 - 0

y = f(x) = ln(t) --> unendlich für t --> unendlich

05.04.2021, 13:14

Leopold

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Zitat:

Original von kiritsugu
Warum kann man den Zwischenwertsatz nehmen?

Wähle zu jeder ganzen Zahl $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ reelle Zahlen $\begin{align*} a_n,b_n \end{align*}$ mit $\begin{align*} - \frac{\pi}{2} < a_n < 0 < b_n < \frac{\pi}{2} \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} f(a_n)<-n \end{align*}$ und $\begin{align*} f(b_n)>n \end{align*}$ ist. Das geht wegen $\begin{align*} f(x) \to \pm \infty \end{align*}$ für $\begin{align*} x \to \pm \frac{\pi}{2} \mp 0 \end{align*}$ (wegen der Ungeradheit von $\begin{align*} f \end{align*}$ könnte man sogar $\begin{align*} a_n=-b_n \end{align*}$ annehmen, aber das ist nicht wichtig). Wende den Zwischenwertsatz auf $\begin{align*} I_n = \left[ a_n,b_n \right] \end{align*}$ an. In seiner allgemeinen Form sagt er, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} I_n \end{align*}$ jeden Wert aus $\begin{align*} \left[ f(a_n),f(b_n) \right]\supset [-n,n] \end{align*}$ annimmt. Und da $\begin{align*} n \end{align*}$ beliebig groß gewählt werden kann, heißt das $\begin{align*} f(I)=\mathbb{R} \end{align*}$ .

05.04.2021, 14:43

kiritsugu

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Ahh, ok danke.

Und was ich für Pi/2 - 0 geschrieben habe stimmt das soweit?

05.04.2021, 17:35

Leopold

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Zitat:

Original von kiritsugu
Und was ich für Pi/2 - 0 geschrieben habe stimmt das soweit?

Ja, stimmt.

05.04.2021, 17:43

kiritsugu