Reihenwert und 1<1/2

06.04.2021, 11:07

HiBee123

Reihenwert und 1<1/2

Hallo Leute,

es gilt folgenden Reihenwert zu bestimmen : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$
erstmal hab ich das ganze durch die geometrische Reihe (ohne Nulltes glied) nach unten abgeschätzt also $\begin{eqnarray*} 1=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}<\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} \end{eqnarray*}$ weiterhin gilt nach oben hin mit der Exponentialreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}<\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k!}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \left(\frac{2^k}{k!}\right)^{-1} =\frac{1}{e^2-1}<1/2 \end{eqnarray*}$
also insgesamt 1<1/2... Wo ist der Fehler?? verwirrt

06.04.2021, 11:18

HAL 9000

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RE: Reihenwert und 1<1/2
Begründe doch bitte mal diesen Schritt:

Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \left(\frac{2^k}{k!}\right)^{-1} =\frac{1}{e^2-1} \end{eqnarray*}$

Ich hab absolut keinen Schimmer, was du dir dabei gedacht hast. unglücklich

EDIT: Vielleicht so was schräges wie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k^{-1} \stackrel{???}{=} \left( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

So eine Unsinnsumformung schlag dir mal ganz schnell aus dem Kopf, sowohl bei Summen als auch bei Reihen.

Zur eigentlichen Berechnung: Die Differentation der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

und damit für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k-1}} = 4 \end{eqnarray*}$ . Durch 2 geteilt bekommt man das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^k} = 2 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Ergebnis (*) bekommt man alternativ auch durch Bilden der Cauchy-Produktreihe von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ mit sich selbst.

06.04.2021, 15:46

gast_free

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RE: Reihenwert und 1<1/2
$\begin{eqnarray*} S(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac {k}{2^k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=q+2q^2+3q3+4q^4+5q^5+...+nq^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} qS(n)=q^2+2q^3+3q4+4q^5+5q^6+...+(n-1)q^n+nq^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)-qS(n)=q+q^2+q^3+q^4+q^5+q^6+...+q^n-nq^ {(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)(1-q)=q+q^2+q^3+q^4+q^5+q^6+...+q^n-nq^ {(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)(1-q)=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1-n\cdot q^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{1-q^{n+1}}{(1-q)^2}-\frac{n\cdot q^{n+1}}{1-q}-\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{1-q^{n+1}}{(1-q)^2}-\frac{n\cdot (1-q)\cdot q^{n+1}}{(1-q)^2}-\frac{1-q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{1-q^{n+1}-n\cdot (1-q)\cdot q^{n+1}-1+q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{-q^{n+1}-n\cdot q^{n+1}+n\cdot q^{n+2}+q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=\frac{q-q^{n+1}(1+n)+n\cdot q^{n+2}}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n)=4\cdot [\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}})^{n+1}\cdot (1+n)+n\cdot {(\frac{1}{2}})^{n+2}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} S(n)=2 \end{eqnarray*}$

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