Flächenberechnung

06.04.2021, 15:47

Ahnungslos2021

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Flächenberechnung

Meine Frage:
Hallo Freunde des Wissens,

Denke das meiste von den Aufgaben gelöst zu haben aber würde mich freuen wenn jemand nochmal drüberschaut und mir bei 2punkten hilft.

Gegeben seien ein Vektorfeld A = x vec(ex) y vec(ey), und ein Körper, der von den Flächen z=24(x^2+y^2)+1 und z=48x+1 begrenzt wird.

a) Finden Sie die Schnittlinie der beiden Flächen und führen Sie geeignete Koordinaten ein.

b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers, indem Sie den Fluss durch jede der beiden Teilflächen des Körpers einzeln ausrechnen.

c) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers mit Hilfe eines geeigneten Volumenintegrals.

Meine Ideen:

Zu a)
Also ich habe versucht die Gleich zu setzen und dann für y was einzusetzen

24(x^2+y^2)=48x
x^2+y^2=2x
y=sqrt(-x^2+2x)

In 1. Formel einsetzen

24x^2+24(-x^2+2x)+1=48x+1

Ja super
Bin mir sicher etwas nicht richtig gemacht zu haben hier wäre eine Erklärung bzw eine Lösung hilfreich.
Wahrscheinlich irgendwas mit nem Kreis zu tun

Zu b)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 24x^2+24y^2+1 \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} rcos(t) \\ r*sin(t) \\ 24r+1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Integrationsgrenzen sind ja wahrscheinlich die Funktion der Schnittgeraden und 2*pi oder?

Nach r und t ableiten um normalen vektor zu erhalten
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} -24rcos(t) \\ -24rsin(t) \\ -r \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Oder muss ich hier schon den anderen normalenvektor nehmen?

Vektorfeld skalar normalen vektor

= -24r^2

Integrieren nach r dann nach t

-(24r^3)/3*t+c

Jetzt die Frage der Grenzen ...

Z=48x+1

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} x \\ y \\ 48x+1 \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} rcos(t) \\ rsin(t) \\ 48rcos(t)+1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Genau wie davor
$\begin{eqnarray*} <br /> vec(n)= \begin{pmatrix} -96r \\ 0 \\ r \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Skalar multipliziert und integriert

1/3*r^3*sin(t)+c

Nun wieder die Frage nach den Grenzen

Und für c) den integralsatz von Gauß?

Und wo ist der Fehler bei latex [] ist es nicht hab ich weg gemacht damit man es noch sieht

07.04.2021, 07:50

klarsoweit

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RE: Flächenberechnung
Für das Latex-Problem habe ich im Moment keine Erklärung. verwirrt

verwirrt

07.04.2021, 08:57

gast_free

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RE: Flächenberechnung
Ich habe mir erlaubt mal beide Funktionen zu zeichnen. Vielleicht hilft der Plott. Er befindet sich im Bereich Dateianhänge.

07.04.2021, 09:45

Ahnungslos2021

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Dem Bild zu urteilen brauche ich Kegelkoordinaten?

07.04.2021, 09:47

Ahnungslos2021

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Und danke dir nochmal gast_fee das du mich aus der Misere retten willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2021, 13:26

Ahnungslos2021

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Liege ich bei b soweit richtig?

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07.04.2021, 16:15

Ulrich Ruhnau

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RE: Flächenberechnung

Zitat:

verbessertes Original von Ahnungslos2021
Meine Frage:
Gegeben seien ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec A = x\vec{e_x}+ y\vec{e_y} \end{eqnarray*}$ , und ein Körper, der von den Flächen $\begin{eqnarray*} z=24(x^2+y^2)+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=48x+1 \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.

a) Finden Sie die Schnittlinie der beiden Flächen und führen Sie geeignete Koordinaten ein.

b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers, indem Sie den Fluss durch jede der beiden Teilflächen des Körpers einzeln ausrechnen.

c) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers mit Hilfe eines geeigneten Volumenintegrals.

Und wo ist der Fehler bei latex [] ist es nicht hab ich weg gemacht damit man es noch sieht

Zu a:
Du gibst einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor und berechnest dazu das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt. Dann berechnest Du noch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Was hältst Du von Zyliinderkoordinaten?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi \\ \rho\sin\varphi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Thema Latex: Klicke einfach auf Naviagtion->Erste Schritte->Latex-Wiki ! Außerdem solltest du den Backslash nicht vergessen also z.B. \cos statt cos schreiben!
Da gibt es so einen schönen Trick: Man klickt mit rechter Maustaste unbekannte Latexpassagen an und wählt Show Math As -> Tex Commands sodaß man sich die Latextechniken Anderer abschauen kann.

07.04.2021, 16:30

Ahnungslos2021

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Du meinst ich soll mal in zylinderkoordinaten b rechnen?

Danke für den Latex Tipp versuche das nächstes mal smile

smile

07.04.2021, 17:00

Ahnungslos2021

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Mir erschließt sich aber nicht der Unterschied zu den polarkoordinaten. Um ehrlich zu sein.

07.04.2021, 17:05

HAL 9000

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Zylinderkoordinaten sind auch nichts weiter als (zweidimensionale) Polarkoordinaten mit angehängter z-Komponente als dritter Koordinate - im Unterschied zu Kugelkoordinaten.

07.04.2021, 18:03

Ahnungslos2021

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Also das Vektorfeld wäre in zylinderkoordinaten

p
0
0

?

Oder hab ich was falsch gemacht?

07.04.2021, 20:41

Ahnungslos2021

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Kann mir bitte noch jemand helfen morgen schreiben wir die nachholeklausur Gott

Gott

08.04.2021, 08:05

gast_free

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Schade. Ich muss gestehen, das ich etwas Zeit brauche mich in Deine Aufgabe einzuarbeiten. Ich habe da etwas mit Eunuchen gemeinsam. Ich weiß im Prinzip wie es geht, aber kann es nicht. Eigentlich wollte ich mir die Aufgabe am Wochenende vor nehmen. Tagsüber muss ich noch meinen Herrinnen und Herren aus dem Homeoffice heruas dienen.

Vielleicht hilft Dir dieses Skript weiter. Dort gibt es Beispiele mit Oberflächenintegralen zweiter Ordnung. Das sollte doch das Richtige sein.

Oberflächenintegral im Vektorfeld

Viel Glück und viel Erfolg bei der Nachprüfung.

08.04.2021, 08:21

Ulrich Ruhnau

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RE: Flächenberechnung

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Gegeben seien ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec A = x\vec{e_x}+ y\vec{e_y} \end{eqnarray*}$ , und ein Körper, der von den Flächen $\begin{eqnarray*} z=24(x^2+y^2)+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=48x+1 \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.
b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers, indem Sie den Fluss durch jede der beiden Teilflächen des Körpers einzeln ausrechnen.

c) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes A durch die gesamte Oberfläche des Körpers mit Hilfe eines geeigneten Volumenintegrals.
Du gibst einfach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor und berechnest dazu das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt. Dann berechnest Du noch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Was hältst Du von Zyliinderkoordinaten?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi \\ \rho\sin\varphi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} z=24(x^2+y^2)+1 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} z=24\rho^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} z=48x+1 \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} z=48\rho\cos\varphi+1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Gaußschen Integralsatz muß gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_V \! \nabla\cdot\vec A \,\dd^3r=\oint_F \! \vec A \cdot\dd\vec f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dd\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\rho}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right)\dd\rho\dd\varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{r_{\rm unten}}=\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi \\ \rho\sin\varphi \\ 48\rho\cos\varphi \end{pmatrix}\quad\vec{r_{\rm oben}}=\begin{pmatrix} \rho\cos\varphi \\ \rho\sin\varphi \\ 24\rho^2+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec A=\begin{pmatrix}\rho\cos\varphi\\ \rho\sin\varphi\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wobei ich mir mit unten und oben nicht ganz sicher bin.

08.04.2021, 11:13

Huggy

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Zitat:

Original von Ahnungslos2021
Kann mir bitte noch jemand helfen morgen schreiben wir die nachholeklausur Gott

Gott

Dann ist es zu spät für Hilfestellungen. Ich schreibe deshalb einfach mal die Lösung auf. Im Prinzip ist das eine reine Fleißaufgabe, da man die benötigten Formeln im Internet und in jeder guten Formelsammlung findet.

a) Schnittlinie

Durch Gleichsetzen von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ erhält man die Projektion der Schnittlinie in die (x-y)-Ebene. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} (x-1)^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Kreis. Die Kreisfläche sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ genannt. Die Oberfläche des Körpers sei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ genannt. Möglicherweise bringen Zylinderkoordinaten für die weitere Rechnung Vorteile. Ich bleibe bei den kartesischen Koordinaten.

c) Volumenintegral

Mit

$\begin{eqnarray*} \vec A=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hat man

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \cdot \vec A= 2 \end{eqnarray*}$

Es sei

$\begin{eqnarray*} z_u=24(x^2+y^2)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_o=48 x +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_u=-\sqrt {1-(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_o=\sqrt {1-(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Dann hat man für den Fluss

$\begin{eqnarray*} \Phi=\iiint\limits_V \vec \nabla \cdot \vec A \, dV=\int\limits_0^2 \int \limits_{y_u}^{y_o} \int \limits_{z_u}^{z_0} 2 \, dzdydx =24 \pi \end{eqnarray*}$

b) Oberflächenintegrale

Wenn die Fläche $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} z(x,y) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ parametrisiert ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi=\iint\limits_S \vec A \cdot d\vec S=\pm \iint\limits_D \left ( -A_x \frac {\partial z}{\partial x} -A_y \frac {\partial z}{\partial y}+A_z \right )\, dydx \end{eqnarray*}$

Für den Fluss durch die Schnittfläche ergibt das

$\begin{eqnarray*} \Phi_1=\pm \int\limits_0^2\int\limits_{y_u}^{yo} -48x\, dydx =\mp 48 \pi \end{eqnarray*}$

Für den Fluss durch die Paraboloidfläche ergibt das

$\begin{eqnarray*} \Phi_2=\pm \int\limits_0^2\int\limits_{y_u}^{yo} -48(x^2+y^2) \, dydx =\mp 72 \pi \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man sich nur noch um die Vorzeichen kümmern. Ein Fluss in das Volumen ist negativ zu rechnen, ein Fluss heraus positiv. Daher ist bei $\begin{eqnarray*} \Phi_1 \end{eqnarray*}$ das negative Vorzeichen und bei $\begin{eqnarray*} \Phi_2 \end{eqnarray*}$ das positive Vorzeichen zu wählen. Also

$\begin{eqnarray*} \Phi =(72-48)\pi=24 \pi \end{eqnarray*}$

08.04.2021, 11:21

HAL 9000

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Angesichts der Schnittlinie (in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Draufsicht der von Huggy angegebene Kreis) könnte man evtl. auch mit "verschobenen" Zylinderkoordinaten arbeiten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\rho\cos\varphi \\ \rho\sin\varphi \\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq\rho\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi\in (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$

sowie (was den Volumenkörper betrifft) $\begin{eqnarray*} 25+48\rho\cos\varphi + 24\rho^2 \leq z \leq 49+48\rho\cos\varphi \end{eqnarray*}$

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