Standardabweichung

06.04.2021, 18:45	MF5753	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standardabweichung Die Standardabweichung für die Wartezeit an einer Schranke ist ungefähr 2,5. Der Wert wird im Folgenden als exakt angenommen. Am 01. Juni möchte Herr X. wegen eines wichtigen Termins ungern zu spät kommen, aber die Schranke ist bei seiner Ankunft geschlossen. Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er zu spät kommen, wenn er für die Schranke zwar 10 Minuten Wartezeit einplant, aber sonst keinen Zeitpuffer hat? Ich bin der Auffassung, diese Aufgabe lässt sich nur mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung lösen. Laut Aufgabenstellung soll aber gerade darauf verzichtet werden. Annahme: T ist normalverteilt um t mit Standardabweichung s=2,5( Minuten). Dann gilt für eine Wartezeit von mehr als 10 Minuten: $\begin{eqnarray} P\left(\| T-t \| \geq k\right) \leq \left(\frac{s^{2}}{k^{2}} \right) = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ Gibt es noch einen anderen Lösungsweg? Drei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
07.04.2021, 09:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe erhebliche Bauchschmerzen bei dieser Problembeschreibung: 1) 2.5 soll vermutlich 2.5 Minuten bedeuten? 2) Wieso wird nur über die Standardabweichung der Wartezeit geredet, nicht aber über sonstige Parameter der Wartezetverteilung, namentlich den Erwartungswert? Macht für die Antwort sicher einen erheblichen Unterschied, ob der Erwartungswert 5 Minuten oder 1 Stunde ist... Punkt 2) würde sich natürlich wesentlich entkrampfen, wenn der konkrete Verteilungstyp der Wartezeit bekannt wäre, etwa (wie so oft bei einfachen Modellen) eine Exponentialverteilung $\begin{eqnarray} \mbox{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ .
07.04.2021, 12:13	MF5753	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1. Ja, es sind s = 2,5 Minuten und k = 10 Minuten. zu 2. Es sind leider keine weiteren Angaben gegeben. Aus diesem Grunde habe ich die Normalverteilung unterstellt.
07.04.2021, 12:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber was hast du da "gerechnet"? Es geht doch nicht um $\begin{eqnarray} P(\|T-t\|\geq k) \end{eqnarray}$ , sondern um $\begin{eqnarray} P(T\geq k) \end{eqnarray}$ , und bei der Berechnung/Abschätzung von letzterem spielt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ durchaus eine Rolle, d.h. "kürzt" sich nicht raus - das war doch genau das, worauf ich in 2) hingewiesen habe! ========================================================== Ok, nochmal was ich am Schluss von meinem obigen Beitrag gemeint hatte: Wenn $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ nun eine Verteilung mit nur einem Parameter besitzt - wie etwa die Exponentialverteilung - dann kann dieser eine Parameter aus der Angabe "Standardabweichung 2.5 min" auch tatsächlich geschätzt werden, und man hat dann tatsächlich die Verteilung vollständig im Griff: Für $\begin{eqnarray} T\sim \operatorname{Exp}(\lambda) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} E(T)=\sqrt{V(T)} = \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ . Aus dem gegebenen $\begin{eqnarray} \sqrt{V(T)} = 2.5~\mbox{min} \end{eqnarray}$ folgt damit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda = 0.4~\mbox{min}^{-1} \end{eqnarray}$ sowie dann $\begin{eqnarray} P(T\geq 10~\mbox{min}) = \exp\left(-\lambda\cdot 10~\mbox{min}\right) = -\exp(-4) \approx 0.0183 \end{eqnarray}$ . Für eine Normalverteilung $\begin{eqnarray} T\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray}$ hingegen, wo nur $\begin{eqnarray} \sigma=2.5 \end{eqnarray}$ gegeben ist, kannst du $\begin{eqnarray} P(T\geq 10) \end{eqnarray}$ schlicht nicht ausrechnen, ja nicht mal grob abschätzen.
07.04.2021, 18:55	MF5753	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Hinweis. Ja, ich habe hier nicht richtig nachgedacht.

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