Optimierung mit Nebenbedingung

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NullChecker_3141 Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung mit Nebenbedingung
Meine Frage:
Hallo! smile
Ich sollte folgenden Ausdruck durch die Wahl von minimieren:
, wobei beliebige (konstante) reelle Zahlen sind, für die gilt, dass .


Meine Ideen:
Intuitiv ist mir klar, dass die Lösung für sein muss, aber ich kann es nicht sauber beweisen. Normalerweise stelle ich bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen eine der Variablen frei und setze diesen Ausdruck in den zu minimierenden Ausdruck ein, bilde den Gradienten und Löse das Gleichungssystem. Hier hat das aber nicht funktioniert, da bei der Freistellung einer Variablen, z.B. immer noch Variablen "frei" herumgeistern. Hat jemand einen Tipp für mich?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NullChecker_3141
Intuitiv ist mir klar, dass die Lösung für sein muss

Tatsächlich? Betrachte nur mal den Fall mit und damit dann , dann ist



zu minimieren, mit Minimum . smile


Da musst du wohl deine Vermutung revidieren.
NullChecker_3141 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mist! Big Laugh Danke für den Hinweis, das ist wohl wahr - meine Vermutung ist falsch. Hammer Gott
Aber eben genau das meine ich, beim Fall kann ich durch die Nebenbedingung eine Variable durch die andere Variable so ausdrücken, dass meine zu optimierende Funktion nur noch von einer Variablen abhängt (hier im Beispiel von bzw. ). Wie soll das mit Variablen funktionieren?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gewusst wie... Ich würde die CSU anwenden, und zwar für und für , es folgt

,

d.h. mit Gleichheit genau dann, wenn es eine Konstante gibt mit für alle ; eingesetzt und umgestellt . Über die Bedingung ist dann klar, dass sein muss.


Wir haben dann usw. mit Grenzwert .
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Zielfunktion:


Nebenbedingung:


Gemäß der Lagrangeschen Methode betrachtet man die erweiterte Zielfunktion


Der Gradient bezüglich des Vektors muss verschwinden, also



Aus der ersten Zeile folgt . Dies setzen wir in die übrigen Zeilen des Gleichungssystems ein und erhalten (indem wir im Folgenden die erste Zeile weglassen)



Dies ist ein lineare Gleichungssystem für den Vektor . Aus den oberen n-1 Zeilen des Gleichungssystems kann man ablesen

, also
, also
, also
....
Die noch unbkannte Zahl ergibt sich durch Einsetzen dieser n-1 Lösungen in die letzte Zeile, welche zugleich die Nebenbedingung darstellt



Daraus folgt



Für geht der Nenner gegen 2, also . Aus der obigen Lösung folgt dann




...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so löst man das mit der Standardmethode Langrange - wobei an sich noch diskutiert werden müsste, dass das zu einem Minimum (und nicht etwa einem lokalem Maximum) führt.

Zitat:
Original von Ehos
Für geht der Nenner gegen 2

Ein kleiner Blackout zum Schluss: Der tatsächliche Grenzwert ist , siehe auch oben. Augenzwinkern

Und für festes muss man natürlich auch mit dem Partialsummenwert statt dem Reihenwert arbeiten. Erst wenn das Infimum über alle gefragt ist, kommt der Reihenwert ins Spiel.
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000
Aah... Diesen Grenzwert hatte ich anders im Gedächtnis und leider auch nicht mehr nachgeschaut. Danke.
NullChecker_3141 Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, danke euch zwei, ihr seid der Wahnsinn! Gott Klingt alles sehr einleuchtend für mich, dann muss ich mich wohl endgültig von meiner ersten Intuition abwenden und der Tatsache ins Auge blicken, dass die Aufgabe doch nicht eine so triviale Lösung hat, wie ich zu Beginn vermutete Augenzwinkern Vielen Dank dafür!
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