Dreieck-Innenkreis-Mittelpunkt

07.04.2021, 10:40

quadrierer

Dreieck-Innenkreis-Mittelpunkt

Seit Urzeiten ist bekannt, der Innenkreis-Mittelpunkt M für ein beliebiges Dreieck ist der Schnittpunkt M von jeweils zwei in den Eckpunkten A, B und C ausgehenden Strahlen, welche die Innenwinkel am Eckpunkt A und B oder B und C oder C und A halbieren.

Frage:
Sind diese bekannten elementar konstruierbaren Zusammenhänge für das Konstruieren des Innenkreis-Mittelpunktes M die einzige exakte Möglichkeit mit einer endlichen Kreis-Gerade-Sequenz, deren Zusammenhänge auch anschaulich sinnfällig nachvollzogen werden können?

- Wenn ja, wie kann dies anschulich nachvollziehbar begründet werden.

- Wenn nein, sind entsprechende andere Kohärenzsysteme als endliche, elementar konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten vorzuzeigen.

07.04.2021, 11:06

Leopold

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RE: Dreieck-Innenkreis-Mittelpunkt

Zitat:

Original von quadrierer
Frage:
Sind diese bekannten elementar konstruierbaren Zusammenhänge für das Konstruieren des Innenkreis-Mittelpunktes M die einzige exakte Möglichkeit mit einer endlichen Kreis-Gerade-Sequenz, deren Zusammenhänge auch anschaulich sinnfällig nachvollzogen werden können?

Antwort: Nein.

Beweis: In über 10000 Jahren Geschichte der Geometrie haben sich so viele kluge, sehr kluge und blitzgescheite Menschen mit dem Inkreismittelpunkt beschäftigt, daß mit Sicherheit noch weitere, interessante und anschaulich sinnfällig nachvollziehbare Charakterisierungen dieses Punktes existieren.

Ein Beispiel.
Wenn $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ wie üblich die Seiten oder Seitenlängen des Dreiecks $\begin{align*} ABC \end{align*}$ sind, so besitzt der Inkreismittelpunkt $\begin{align*} M \end{align*}$ die baryzentrischen Koordinaten

$\begin{align*} M = a:b:c \end{align*}$

Für einen beliebigen Punkt $\begin{align*} O \end{align*}$ gilt daher:

$\begin{align*} \overrightarrow{OM} = \frac{a}{a+b+c} \overrightarrow{OA} + \frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{OB} + \frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{OC} \end{align*}$

Speziell für $\begin{align*} O=A \end{align*}$ erhält man

$\begin{align*} \overrightarrow{AM} = \frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{AB} + \frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{AC} \end{align*}$

womit sich $\begin{align*} M \end{align*}$ in offensichtlicher Weise durch Streckenverhältnisse, die allein durch $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ bestimmt sind, konstruieren läßt.

Oder man konstruiert zunächst die Berührpunkte des Inkreises mit den Seiten (der Berührpunkt etwa mit der Seite $\begin{align*} c \end{align*}$ hat von $\begin{align*} A \end{align*}$ den Abstand $\begin{align*} \frac{1}{2} \left( -a+b+c \right) \end{align*}$ und von $\begin{align*} B \end{align*}$ den Abstand $\begin{align*} \frac{1}{2} \left( a-b+c \right) \end{align*}$ ). Mit Hilfe der drei Berührpunkte kann man dann den Inkreis konstruieren.

07.04.2021, 11:19

Ulrich Ruhnau

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RE: Dreieck-Innenkreis-Mittelpunkt
@quadrierer

Man kann auch anders vorgehen. Zuerst zeichnet man den Innkreis, dann sucht man auf dem Innkreis drei verschiedene Punkte hier A,B,C, die sich nicht genau gegenüberliegen und zeichnet die Tangenten durch diese Punkte. Sie ergeben ein Dreieck, das den Kreis zum Innkreis macht, wenn benachbarte Tangentenpunkte keinen größeren Winkelabstand haben als 180°.

[attach]52956[/attach]

07.04.2021, 13:18

Leopold

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@ Ulrich Ruhnau

Auch wenn man bei der blumig-überspannten Ausdrucksweise von quadrierer nie mit letzter Sicherheit sagen kann, was er will, so denke ich doch, daß es hier um die inverse Aufgabe geht: Dreieck gegeben, Inkreis gesucht.

07.04.2021, 15:20

Ulrich Ruhnau

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@Leopold
Der Antwort, die Du Quadrierer gegeben hast, trifft seine Frage sicherlich besser als meine. Meine Strategie war aber, daß Quadrierer sich erstmal besser erklärt, bevor er eine gute Antwort bekommt.

07.04.2021, 17:05

quadrierer

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Meine Strategie war aber, daß Quadrierer sich erstmal besser erklärt, bevor er eine gute Antwort bekommt.

In meiner Aufgabenbeschreibung steht schon alles wichtige drin. Leopold bringt es in aller Kürze mit „Dreieck gegeben, Inkreis gesucht“ auf den Punkt. Diese Suche soll allerdings unter betimmten Randbedingungen erfolgen. Der Innenkreis-Mittelpunkt soll ohne Halbierungen der Innenwinkel zustande kommen. Er soll durch eine Sequenz von zusammenhängend konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt werden. Diese Sequenz soll sinnfällig nachvollzogen werden können und so Gewissheit geben, dass auch der zutreffende Innenkreis-Mittelpunkt erzeugt ist.

07.04.2021, 23:34

Leopold

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Ich habe dir zwei Möglichkeiten genannt, wie man das machen kann.

08.04.2021, 08:02

HAL 9000

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@quadrierer

Mal eine Frage: Du sprichst immer von Innenkreis statt von Inkreis - ist das eine regionale Bezeichnung? Ist mir nämlich (außer in deinen Threads) noch nie begegnet.

08.04.2021, 09:07

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
ist das eine regionale Bezeichnung?

So spricht man in Kohärenzien.
Wie gut, daß quadrierer nicht "Innkreis" gesagt hat. Da wäre von mir die zugegebenermaßen mäßig witzige und besserwisserische Bemerkung gefallen, das sei in der napoleonischen Zeit ein Kreis des neugeschaffenen Königreichs Bayern gewesen. Bayern mußte den größten Teil nach 1814 an Österreich zurückgeben.

08.04.2021, 13:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Wie gut, daß quadrierer nicht "Innkreis" gesagt hat.

Schön, dass es dafür einen anderen Adressaten hier im Thread gibt. Big Laugh

08.04.2021, 14:10

Elvis

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Es gibt nun schon drei Mathematiker, denen bei Innenkreis der Innkreis eingefallen ist. Prost

Elvissche Vermutung: Mathematiker haben einen speziellen Humor. Das zeigt sich gelegentlich daran, dass ich der Einzige bin, der meine Sparwitze lustig findet. smile

08.04.2021, 14:23

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schön, dass es dafür einen anderen Adressaten hier im Thread gibt. Big Laugh

Das war mir tatsächlich nicht aufgefallen. Man liest halt so drüber hinweg...

Zitat:

Original von Elvis
Das zeigt sich gelegentlich daran, dass ich der Einzige bin, der meine Sparwitze lustig findet. smile

Womit die Menge V der Elvis-Witze-Versteher nicht leer ist. Das ist doch meist der erste Schritt, um die Vektorraumeigenschaften nachzuweisen. Jetzt noch die andern. (Haha! Alle lachen! Urkomisch!)

09.04.2021, 10:00

quadrierer

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Zitat:

Original von HAL 9000
@quadrierer

Mal eine Frage: Du sprichst immer von Innenkreis statt von Inkreis - ist das eine regionale Bezeichnung? Ist mir nämlich (außer in deinen Threads) noch nie begegnet.

Da hast Du offenbar nicht ausreichend recherchiert? Man muss nicht erst nach „Kohärenzien“ reisen. Schon im normalen Internet kommt „Innenkreis“ mehrfach vor. Unter anderem wird bei https://www.mathestunde.com/inkreis-umkr...ck-konstruieren die folgende Frage erörtert:„Was ist der Innenkreis oder Inkreis eines Dreiecks und wie wird er konstruiert?“

Mit meinem intuitiv genutzten „Innenkreis“ beschreibe ich als interessierter Laie einen Sachverhalt, der offenbar nicht all zu weit vom Sachverhalt entfernt ist, den der fachspezifische Begriff „Inkreis“ anspricht.

09.04.2021, 10:56

HAL 9000

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Ich rede nicht von dubiosen Google-Treffern (wenn das der Maßstab wäre, ginge auch "Standartabweichung" oder "aufleiten" in Ordnung), sondern von Büchern und Nachschlagewerken. Selbst Wikipedia erwähnt mit keinem Wort diese Alternativbezeichnung - das Eintippen "Innenkreis" in die dortige Suchmaske ergibt lustige Treffer. Du kannst ja Bezeichnung "Innenkreis" gern im Artikel

https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis

ergänzen, wenn du meinst das ist relevant. Augenzwinkern

11.04.2021, 11:55

quadrierer

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Zurück zur Aufgabe. Sie wird mit dem nun gesuchten Inkreis-Mittelunkt für ein Dreieck keine andere.

Zitat:

Original von Leopold
Ich habe dir zwei Möglichkeiten genannt, wie man das machen kann.

Möglichkeit 1:
Zum Verstehen reicht hier elementares Kohärenzwissen zum Dreieck nicht aus! Eine entsprechende Konstruktion könnte hier weiter helfen. Da wäre auch ersichtlich, ob ohne Winkel-Halbierungen ausgekommen wird.

Möglichkeit 2:
Auch hier erfordert das zutreffende Verstehen des Lösungszusammenhangs ein Wissen, das über elementares Wissen hinaus geht. Mein folgendes bildliches Kohärenzsystem zeigt dazu das prinzipielle Vorgehen mit einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (Gerade g1 bis hin zu Kreisbogen k7, k8 und g9). Beim Beispiel wird mit der Geraden g9 der Berührungspunkt D des Inkreises mit der Seite c erzeugt.
[attach]52965[/attach]

Möglichkeit 3:
Ich zeige nun noch eine weitere alternative Möglichkeit. Ob sie in der langen Geschichte der Geometrie schon Jemand veröffentlich hat, ist mir nicht bekannt. Diese Möglichkeit arbeitet mit systematischer Symmetrie und ist ähnlich effizient, wie das Vorgehen mit dem Halbieren der Innenwinkel. Auch sie ist mit elementarem geometrischem Kohärenzwissen recht gut nachzuvollziehen und zu verstehen. Die konstruierte Lösungssequenz von Kreis- und Gerade-Objekten startet hier beim beliebig gewählten Punkt $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ und endet mit Punkt $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ . Die Punkte $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ sind die Berührungspunkte des Inkreises mit den Dreieck-Seiten c, b und a.

[attach]52966[/attach]

Eine hierzu etwas modifizierte Vorgehensweise zeigt das folgende bildliche Kohärenzsystem. Gestartet wird die Sequenz der Kreisbögen beim beliebig gewählten Punkt D und endet bei Punkt D. Die Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten b, a und c sind die Mittelpunkte der Punkte-Paare DG, HE und FI.
[attach]52964[/attach]

12.04.2021, 08:21

Leopold

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Die Radien deiner Startkreise um $\begin{align*} A, B, C \end{align*}$ in deinem ersten Bild zu Möglichkeit 3 seien der Reihe nach $\begin{align*} u, v, w \end{align*}$ . Die Strecke von $\begin{align*} F_5 \end{align*}$ nach $\begin{align*} F_1 \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} F_4 \end{align*}$ habe die Länge $\begin{align*} p \end{align*}$ . Dann gelten:

$\begin{align*} a = v+w \, , \ \ b = u+w \, , \ \ c = u+v+2p \end{align*}$

$\begin{align*} b+c-a = \left( u+w \right) + \left( u+v+2p \right) - \left( v+w \right) = 2u+2p = 2 \left( u+p \right) \end{align*}$

$\begin{align*} u+p = \frac{1}{2} \left( b+c-a \right) \end{align*}$

Damit habe ich begründet, daß $\begin{align*} F_5 \end{align*}$ der Berührungspunkt des Inkreises mit $\begin{align*} AB \end{align*}$ ist.
Wie würde deine Symmetriebegründung gehen, daß $\begin{align*} F_5, F_6, F_7 \end{align*}$ die Berührungspunkte des Inkreises mit den Seiten sind? Warum haben insbesondere $\begin{align*} F_6 \end{align*}$ und $\begin{align*} F_7 \end{align*}$ von $\begin{align*} C \end{align*}$ denselben Abstand?

12.04.2021, 12:21

quadrierer

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Es ist eine kurze, gut einsichtige Begründung zum exakten Zutreffen der aufgezeigten Möglichkeit 3.

Meine Begründung ist hier mehr intuitiv: Geht man von einer gewissen systematischen „Symmetrie beim Dreieck“ aus, dann ist der erkennbare Berührungsfall mit drei Berührungspunkten des Inkreises $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ erreicht, wenn die Sequenz der drei Kreisbogen von Punkt $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ ; von $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ zurück zu $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ das im Bild gezeigte besondere Kreisbogen-Dreieck bildet. Dann haben nicht nur die Punkte $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ vom Eckpunkt C denselben Abstand, sondern auch $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ von Eckpunkt A und $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ von Eckpunkt B. Es ist dabei eine gewisse Vollständigkeit erreicht, für die gilt:

A $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} F_{6} \end{eqnarray*}$ C = AC=b

$\begin{eqnarray*} BF_{7} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ C = BC = a

| $\begin{eqnarray*} AF_{6} \end{eqnarray*}$ |+ | $\begin{eqnarray*} BF_{7} \end{eqnarray*}$ | = AB = c

| $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ B|= c - | $\begin{eqnarray*} F_{5}A \end{eqnarray*}$ |

Der Inkreis ist hier zugleich Umkreis für das besagte Kreisbogen-Dreieck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} F_{7} \end{eqnarray*}$ .

Man kann hier wohl von einer gewissen systematischen „Symmetrie beim Dreieck“ sprechen, die ganz offensichtlich mit dem innen liegenden besonderen Kreisbogen-Dreieck, aber auch mit dem zweiten Bild zu Möglichkeit 3 anschaulich nachvollziehbar wird.

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