Gewinnchancen bei Zahlenspiel

08.04.2021, 09:48

matheskater

Gewinnchancen bei Zahlenspiel

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich hätte eine Frage zu Aufgabe 441022 der Mathematikolympiade (siehe Anhang).

Meine Ideen:
Und zwar habe ich mir einmal die Zahlenfolge 0432780 angeschaut, dort die 7 gestrichen und Markus gewinnt.

Bei der Zahlenfolge 02360 und beim Streichen der zwei, gewinnt Markus allerdings nicht mehr.

Kann mir jemand an dieser Stelle helfen?

08.04.2021, 10:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheskater
Bei der Zahlenfolge 02360 und beim Streichen der zwei, gewinnt Markus allerdings nicht mehr.

Es wäre ausgesprochen dumm von Markus, die 2 zu streichen - er kann sich doch raussuchen, was er streicht. In dieser Konstellation würde er die stattdessen die 6 streichen, und damit gewinnen.

08.04.2021, 10:31

matheskater

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Upps
Dann habe ich die Aufgabe wohl falsch gelesen.

Wie kann ich denn zeigen, dass Markus immer gewinnen kann?

08.04.2021, 10:36

HAL 9000

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RE: Upps
Witzlos, wenn ich dir das gleich verrate. Schau dir doch erst nochmal ein paar Beispiele an - ruhig auch mal etwas länger als deine bisherigen - und schau dir an, was die Gewinnzüge von Markus dann jeweils auszeichnet. Und das versuche anschließend in einen Beweis zu gießen.

Ein Beispiel: 0,19,8,17,9,7,11,6,11,18,0

Einen Tipp gebe ich dir schon mal: Schau dir zu jeder Zahlenfolge auch die zugehörige Partialsummenfolge an, d.h., die Summe aller Zahlen (von ganz links beginnend) bis dahin. Für die von mir eben angegebene Folge wäre das

0,19,27,44,53,60,71,77,88,106,106 ,

die letzte Zahl dieser Partialsummenfolge ist dann die Gesamtsumme, d.h., in diesem Fall $\begin{eqnarray*} S=106 \end{eqnarray*}$ .

08.04.2021, 11:29

matheskater

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RE: Upps
Wenn ich mir die Hälfte von S anschaue, sprich 106:2 = 53, sehe ich, dass Thomas am besten die 9 streichen würde.

somit wäre mein L = 44 und mein R = 53 und Thomas hat gewonnen.

Ist das die Idee dahinter?

08.04.2021, 11:33

HAL 9000

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So ist es. In diesem ganz besonderen Fall. dass die Hälfte (also hier 53) auch tatsächlich als Partialsumme erscheint, kommt alternativ auch die nächste Zahl (also hier die 7) als Streichkandidat in Frage.

Das Beispiel von mir gibt auch ein paar Aufschlüsse, was bei b) passieren kann.

P.S.: Wer ist Thomas? Augenzwinkern

08.04.2021, 13:30

matheskater

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Die Frage ist nur, wie ich das ganze dann mathematisch beweisen kann.

Bei der b) zeigt mir das Beispiel ja, dass L und R nicht immer "echt kleiner" als 1/2*S sein kann, da würde ich einfach mit einem Gegenbeispiel argumentieren.

09.04.2021, 14:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheskater
Die Frage ist nur, wie ich das ganze dann mathematisch beweisen kann.

Du meinst wohl eher: Wie man die Idee von oben, die bereits alles wesentliche enthält, dann auch geeignet aufschreibt. Vielleicht so:

Die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geschriebenen Zahlen seien der Reihe nach $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ genannt, es ist somit gemäß Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} a_1=0, a_n=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a_k>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=2,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$

Wie beschrieben bilden wir von links beginnend die Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_k = \sum_{j=1}^k a_j \end{eqnarray*}$ , es gilt damit dann $\begin{eqnarray*} 0 = s_1 < s_2 < \ldots < s_{n-1} = s_n = S \end{eqnarray*}$ ,

denn die letzte Partialsumme ist gleich der Gesamtsumme $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ aller geschriebenen Zahlen. Aufgrund dieser strengen Monotonie sowie wegen $\begin{eqnarray*} 0 < \frac{S}{2} < S \end{eqnarray*}$ gibt es damit genau einen Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<k\leq n-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} s_{k-1} < \frac{S}{2}\leq s_k \end{eqnarray*}$ , in Worten:

Das ist der Index, wo die Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ die halbe Gesamtsumme $\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ erstmalig erreicht bzw. übersteigt.

Wenn Markus darauf basierend nun die Zahl $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ an Position $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ streicht, dann hat er links davon die Summe $\begin{eqnarray*} L=\sum_{j=1}^{k-1} a_j = s_{k-1} \end{eqnarray*}$ und rechts davon die Summe $\begin{eqnarray*} R=\sum_{j=k+1}^n a_j = S-s_k \end{eqnarray*}$ stehen. Man überzeugt sich leicht, dass aufgrund der Wahl von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} L < \frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} R\leq \frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, somit Markus nach den ursprünglichen Spielregeln gewinnt.

12.04.2021, 12:04

matheskater

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Vielen Dank!

smile

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