Ist die Modulorechnung assoziativ?

08.04.2021, 18:14

Helena6538

Ist die Modulorechnung assoziativ?

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,
wir haben uns in der Uni mit Körpern beschäftigt, insbesondere mit den Restkörpern (Z2, Z3) und die Assoziativität ist dadurch gegeben, dass
$\begin{eqnarray*} a\oplus b\oplus c= (a+ b+c)\space mod \space n \end{eqnarray*}$ gelten soll.
Gibt es dafür einen Beweis?

Meine Ideen:
Ich habe mich schon mit den Homomorphieregeln versucht und folgenden Ansatz gehabt:
Wenn gilt (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n kann ich b in b = b'+c umschreiben (da alles Elemente der ganzen Zahlen).
(a+ b'+ c) mod n = (a mod n + b' mod n + c mod n) mod n
Aber jetzt habe ich noch ein mod n zu viel

08.04.2021, 19:34

Elvis

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Kurz und knackig:

$\begin{eqnarray*} ((a+b)+c)=(a+(b+c))=k\cdot n+r\Rightarrow ((a+b)+c)\equiv (a+(b+c))\equiv r\mod n \end{eqnarray*}$

Genauso gehen alle Beweise in der Kongruenzrechnung modulo n. Das gehört übrigens zur Algebra, nicht zur Analysis.

16.04.2021, 00:24

wunder-chris

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RE: Ist die Modulo Rechnung assoziativ
Ich fand den Beweis aus "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" auf Seite 136 von Christian Bär sehr anschaulich.
Das ging so:
$\begin{eqnarray*} x,y,z \in Z/n \end{eqnarray*}$
Und wir setzen $\begin{eqnarray*} w:=y+z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x +_n (y +_n z ) = MOD_n( x + MOD_n(y+z)) = MOD_n( x + y + z + (MOD_n(w)-w)) \end{eqnarray*}$

(MOD_n(w)-w) ist aber durch n teilbar, denn y+z=w=n*k + r, und r ist gerade MOD_n(w).
Also ist n*k = w-MOD_n(w) durch n teilbar genauso -nk = MOD_n(w)-w.

also folgt $\begin{eqnarray*} MOD_n( x + y + z + (MOD_n(w)-w)) = MOD_n( x + y + z ) \end{eqnarray*}$

Genauso zeigt man dann $\begin{eqnarray*} (x +_n y) +_n z = MOD_n( x + y + z ) \end{eqnarray*}$ .

16.04.2021, 11:04

Elvis

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Wenn man das so macht, muss man nicht nur die Kongruenzrelation $\begin{eqnarray*} a\equiv b\mod n \end{eqnarray*}$ kennen, man muss darüber hinaus das Rechnen mit Restklassen $\begin{eqnarray*} x+_n y \end{eqnarray*}$ und den Operator $\begin{eqnarray*} MOD_n(x) \end{eqnarray*}$ und seine Eigenschaften kennen. Ja, wenn man alles weiß, dann ist alles ganz einfach.

Für mich ist wesentlich einfacher einsichtig, dass zwei gleiche ganzrationale Zahlen bei einer Division durch n denselben Rest r lassen. Das ist doch völlig logisch, und so ist die Kongruenz mod n definiert.

16.04.2021, 12:49

Huggy

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn man das so macht, muss man nicht nur die Kongruenzrelation $\begin{eqnarray*} a\equiv b\mod n \end{eqnarray*}$ kennen, man muss darüber hinaus das Rechnen mit Restklassen $\begin{eqnarray*} x+_n y \end{eqnarray*}$ und den Operator $\begin{eqnarray*} MOD_n(x) \end{eqnarray*}$ und seine Eigenschaften kennen. Ja, wenn man alles weiß, dann ist alles ganz einfach.

Mir ist nicht klar, was diese Kritik an dem zitierten Beweis soll. Es ist doch klar, wenn man etwas über Kongruenzen beweisen will, muss man die Definition der Kongruenz und daraus resultierende Eigenschaften benutzen.

Zitat:

Für mich ist wesentlich einfacher einsichtig, dass zwei gleiche ganzrationale Zahlen bei einer Division durch n denselben Rest r lassen. Das ist doch völlig logisch, und so ist die Kongruenz mod n definiert.

Das ist zwar richtig, hat aber nichts mit dem zu tun, was bewiesen werden soll. Wenn man $\begin{eqnarray*} x \equiv y \mod n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \oplus y \end{eqnarray*}$ bezeichnet, ist deine Aussage

$\begin{eqnarray*} (x = y) \rightarrow (x \oplus y) \end{eqnarray*}$

Ja mei, das ist richtig, gilt aber für jede beliebige Aussage über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite des Pfeils. So ist Gleichheit definiert. Bewiesen werden soll aber

$\begin{eqnarray*} a \oplus (b \oplus c)=(a \oplus b)\oplus c =(a+b+c) \mod n \end{eqnarray*}$

Und das folgt nicht unmittelbar daraus, dass auf der ganz rechten Seite das Assoziativitätsgesetz gilt.

17.04.2021, 14:50

wunder-chris

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Also um mal die Definition festzuhalten es geht ja um die Assoziativität des Operators also:
$\begin{eqnarray*} a \oplus b = a +_n b = MOD_n(a+b) \end{eqnarray*}$

Also ich verstehe, dass diese Abbildung $\begin{eqnarray*} +_n : ZxZ -> {1,...,n-1} \end{eqnarray*}$ schon die Definition der Abbildung $\begin{eqnarray*} MOD_n: Z -> {1,...,n-1} \end{eqnarray*}$ nutzen muss.
Und der zitierte Beweis nutzt ja, dass -der Rest von w beim Teilen durch n- und w selbst kongruent modulo n sind. Ihre Differenz ist also teilbar durch n. Beim Beweis wird am Ende die Identität $\begin{eqnarray*} MOD_n(x+y+z+(MOD_n(w)-w)) = MOD_n(x+y+z) \end{eqnarray*}$ genutzt. Ich hab nicht direkt hinterfrag ob das unzulässig ist. An sich wird hier ja nicht schon die Assoziativiät genutzt, und ist deshalb zulässig oder?

17.04.2021, 16:37

Huggy

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Zitat:

Original von wunder-chris
An sich wird hier ja nicht schon die Assoziativiät genutzt, und ist deshalb zulässig oder?

Die Notation des Autors ist etwas gewöhnungsbedürftig. So weit ich sie richtig interpretiere, wird an der Stelle nur die Definition der Kongruenz benutzt.

17.04.2021, 20:04

Luftikus

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Wird hier nicht einfach die Assoziativität im Restklassenring gezeigt?

[a]+[b]:=[a+b]

Daraus folgt doch alles weitere..

([a]+[b])+[c]=[a+b]+[c]=[(a+b)+c]=[a+(b+c)]=[a]+[b+c]=[a]+([b]+[c])

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