Determinante und Spur

09.04.2021, 18:44

sonn.i

Determinante und Spur

Meine Frage:
Bestimmen Sie speziell das Quadrat der Matrizen(a bc d), welche Spur Null und Deter-minante 1 haben.Bestimmen Sie umgekehrt Determinante und Spur aller Matrizen mit diesem Quadrat.

Meine Ideen:
Ich habe nicht so gut die Aufgabenstellung verstanden. was ich machen soll. Eine 2x2 Matrix finden, dessen Spur Null ergbit und die Determiante aber 1?

09.04.2021, 19:11

Elvis

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1. $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} sp(A)=a+d=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(A)= ad-bc=1 \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} X=A^2 \end{eqnarray*}$ .
2. Umgekehrt fleißig weiter rechnen.

09.04.2021, 19:53

sonn.i

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Wofür steht denn X?

09.04.2021, 21:50

Elvis

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X ist die große Unbekannte. Die wird in der Mathematik genau so gesucht wie der Mörder im Krimi.

10.04.2021, 01:01

Leopold

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Hier wäre noch wichtig zu wissen, über welchem Ring $\begin{align*} R \end{align*}$ die Matrizen betrachtet werden. Bei $\begin{align*} R = \mathbb{C} \end{align*}$ wäre zum Beispiel auch

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} \operatorname{i} & 0 \\ 0 & \operatorname{i} \end{pmatrix} \end{align*}$

eine Matrix mit $\begin{align*} A^2 = -E \end{align*}$ (Negatives der Einheitsmatrix). Und $\begin{align*} A \end{align*}$ hat weder Spur 0 noch Determinante 1.

Ich vermute $\begin{align*} R = \mathbb{R} \end{align*}$ .

10.04.2021, 10:56

Huggy

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Zitat:

Original von sonn.i
Wofür steht denn X?

Wenn dich das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stört, lies den Hinweis

Zitat:

Original von Elvis
Berechne $\begin{eqnarray*} X=A^2 \end{eqnarray*}$ .

einfach als: Berechne $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ . Benutze vor dem Quadrieren $\begin{eqnarray*} Sp(A)=a+d=0 \end{eqnarray*}$ zur Vereinfachung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Nach dem Quadrieren siehst du dann automatisch, wie sich das Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} Det(A)=1 \end{eqnarray*}$ vereinfacht.

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