Koeffizienten Fokker-Planck-Gleichung bei stetiger Gleichverteilung bestimmen

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Physiker2020 Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten Fokker-Planck-Gleichung bei stetiger Gleichverteilung bestimmen
Hallo liebes Forum,

gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Gleichverteilung mit

(lasse aus Faulheit die Fallunterscheidung weg)

Ich möchte nun die zeitliche Entwicklung untersuchen. Dazu habe ich die obige Dichte (partiell) nach t abgeleitet und habe

erhalten.

Im nächsten Schritt habe ich die Fokker-Planck-Gleichung



betrachtet. Wenn man sich nun die berechnete Ableitung anguckt, erkennt man, dass .

Dieser Ausdruck erinnert stark an den ersten Summanden der Fokker-Planck-Gleichung.
Den Drift-Koeffizienten kann man nun durch angeben. Der Diffusionskoeffizient ist dann eine beliebige Konstante . Dies löst die DGL wie man leicht zeigen kann:



Der Diffusionsterm verschwindet durch die Ableitung und man erhält für den ersten Summanden:
, was mit der obigen Zeitableitung übereinstimmt.

Sehe ich das so alles richtig? Nun zur eigentlichen Frage: Ich habe im Netz gefunden, dass die Koeffizienten durch folgende Formeln bestimmt werden können:




Jedoch habe ich hier absolut keinen Plan wie man hier vorgehen soll. Wenn ich das richtig verstanden habe ist die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit. Ich habe diese allgemeine Darstellung auch gefunden in einem etwas älteren Buch über Supernovae gefunden als:




Aber meines Erachtens ergibt dies nur im Grenzwert Sinn, also




oder sehe ich da etwas falsch? Wie kann man nun die Übergangswahrscheinlichkeiten in meinen Beispiel bestimmen, sodass die von mir beschriebene Lösung herauskommt?
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