Vollständigkeit und Majorantenkriterium

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korbluma Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit und Majorantenkriterium
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben smile
Ich sitze gerade an der Vorbereitung zu meiner mündlichen Prüfung in LinAlgebra I und Analysis I.
Seit gestern gehe ich Gedächtnisprotokolle anderer Studierender durch und es kam wohl bei einer Person die Frage, wie die Vollständigkeit in das Majorantenkriterium eingeht. Leider weiß ich keine wirkliche Antwort auf diese Frage unglücklich

Ich bin sehr dankbar über jegliche Ideen oder Vorschläge

Meine Ideen:
Vollständigkeit wurde in der Vorlesung wie folgt definiert:
Ein archimedisch angeordneter Körper K heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in K konvergiert.

Das Majorantenkriterium wurde wie folgt beweisen:
Sei [latex] n \in \mathbb N [\latex]. Dann gilt nach dem Vergleichssatz:
[latex]\sum\limits_{k=1}^{n} | a_k | \leq \sum\limits_{k=1}^{n} | b_k | \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty } | b_k | [\latex] Somit ist
[latex]\sum\limits_{k=1}^{\intfy} | a_k | [\latex] beschränkt.
Mit dem Satz zur Äquivalenz von absoluter Konvergenz von [latex]\sum\limits_{k=1}^{\intfy} a_k [\latex] und der Beschränktheit von [latex]\sum\limits_{k=1}^{\intfy} | a_k | [\latex] und erneuter Nutzung des Vergleichssatzes ist das Majoranen-Kriterium dann bewiesen.

Ich hab nur absolut keine Ahnung, wo hier die Vollständigkeit eingeht. Da der Vergleichssatz im Skript noch vor der Vollständigkeit bewiesen wird, vermute ich, dass die Vollständigkeit irgendwie in die Äquivalenz von Beschränktheit und absoluter Konvergenz (wie oben geschrieben) eingehen muss, aber ich verstehe nicht wie und warum.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge konvergiert in und in gegen , sie ist eine Majorante der Folge . Diese Cauchyfolge rationaler Zahlen konvergiert in gegen , in konvergiert sie nicht. Das liegt daran, dass die rationalen Zahlen nicht vollständig sind und dass die reellen Zahlen vollständig sind.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Eine etwas direktere Antwort könnte folgende sein: Es gilt . Wenn die Reihe konvergiert, kann man salopp gesagt die rechte Seite beliebig klein machen, also auch die linke. Also ist, wieder salopp gesagt, eine Cauchyreihe und damit wegen der Vollständigkeit konvergent.
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