Transformationsmatrix von E nach B

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wunder-chris Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix von E nach B
Meine Frage:
Ich hätte eine Frage bzgl. der Transformationsmatrizen zweier Basen des

Wie schreibe ich formal den Rechenweg von einer basis über Transformationsmatrix zur Darstellung in der jeweils anderen Basis?

Und ist die Transformationsmatrix von A nach B immer "die" Matrix, die mir die Koordinatenvektor bezüglich einer anderen Basis liefert richtig? Also Koordinatenvektor bezüglich A rein und Koordinatenvektor bezüglich B raus.


Meine Ideen:
Wenn ich die Standardbasis E habe und eine weitere Basis B, dann spreche ich von der Transformationsmatrix von E nach B und meine damit die Matrix , sodass ich dann folgendes machen kann:

,

wobei b_i der i-te Basisvektor aus B ist und e_i der i-te Standardbasisvektor.

Wenn ich nun einen Vektor



habe und setze ein:



Dann erhalte ich ja eine andere Darstellung dieses Vektors.

Wie kann ich das nun umschreiben, um eine Linearkombination mit Vektoren der Basis zu bekommen, geht das überhaupt in Matrizenschreibweise?

Weiter habe ich:


Ich verstehe ja richtig, dass die Transformation einen Koordinatenvektor bezüglich der Basis B liefert, also kann ich nach dem Ausrechnen die Linearkombination einfach hinschreiben, indem ich die Koordinaten multiplizieren mit der geordneten Basis B. Aber wie kann ich diese Darstellung erhalten ohne Zahlen zu haben?

Ich hoffe das war verständlich formuliert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit hast du nicht zwei Darstellungen sondern nur eine Darstellung von mit Komponenten in der Basis .
Die Darstellung von in der Basis liefert die Umkehrabbildung mit der inversen Matrix vermöge
wunder-chris Auf diesen Beitrag antworten »

Und kann ich nun direkt eine explizite Darstellung von u_k angeben? Also es gibt doch sicher einen Zusammenhang zu den ursprünglichen v_k?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das geht ganz einfach. Die Basiswechselmatrix von E nach B transformiert die Koordinatenvektoren von B nach E. Die dazu inverse Matrix macht genau das Umgekehrte.
Siehe z.B. hier unter "Koordinatentransformation": https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)
wunder-chris Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Basiswechselmatrix von E nach B transformiert die Koordinatenvektoren von B nach E.


Meinst du nicht: Die Basiswechselmatrix von E nach B transformiert die Koordinatenvektoren von E nach B?

Im Artikel ist ja die Matrix für den Basiswechsel von B nach B' und
weiter unten wird berechnet also von x nach x' oder verwechsle ich da was?

Aber jetzt wo du es sagst, die Bezeichnung für die Matrix in meinem Beispiel ist von E nach B aber es wird b_i multipliziert und man bekommt e_i. Das verwirrt mich noch etwas.

In deinem Beispiel hast du die Inverse berechnet für die Darstellung mit b_k, wieso heißt dann die Matrix
"von E nach B", wenn man erst die Inverse braucht, um die Darstellung bezüglich B zu berechnen?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Leite dir doch mal eine "Erwartung von Wissen" aus deinen Grundkenntnissen über (endlichdimensionale) Vektorräume her und gleiche das dann mit der Matrixnotation ab smile









Und jetzt überlege dir, wie sich die Komponenten in der Basis B kompakter schreiben lassen und wie sich das als lineare Abbildung darstellt.

PS: bei unendlichdimensionalen Vektorräumen musst du dir noch Gedanken über die Konvergenz der Darstellungen machen.
 
 
wunder-chris Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich auf so eine Darstellung oder?



Also dann wäre das ja die Transponierte der Matrix?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Man mache sich das dann etwas an einem Beispiel anschaulich, zb. im mit kanonischer Basis und um 90° verdrehter Basis:











wunder-chris Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für dein Beispiel, das konnte ich nachvollziehen.

Ich versuche das anhand von Aufgaben noch zu vertiefen und meine Unsicherheiten ganz zu beseitigen.
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