Arithmetisches Mittel bestimmen

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matheskater Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetisches Mittel bestimmen
Meine Frage:
Gegeben seien das harmonische Mittel h = 2/(1/x + 1/y) = 4 und das quadratische Mittel q = \sqrt{((x^2+y^2)/2)} = 24. x und y seien reelle Zahlen.

Bestimme das arithmetische Mittel a = 1/(x+y).



Meine Ideen:
Ich habe versucht, die Gleichungen in Wolfram Alpha umzuformen, es kamen aber unterschiedliche Ergebnisse für x und y raus, was meiner Meinung nach nicht stimmen kann. Hat jemand eine Idee, wie ich diese Aufgabe ansonsten lösen kann?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches Mittel bestimmen
Da hier eine Gleichung vierten Grades entsteht, kommen in der Tat vier verschiedene xy-Wertepaare als Lösungen heraus.

Viele Grüße
Steffen
matheskater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches Mittel bestimmen
Und wie errechnet sich dann daraus das arithmetische Mittel?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches Mittel bestimmen
Die Formel steht ja da. (Wobei ich die anders kenne.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches Mittel bestimmen
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Da hier eine Gleichung vierten Grades entsteht, kommen in der Tat vier verschiedene xy-Wertepaare als Lösungen heraus.

Für die Summe reduziert sich das auf 2 Lösungen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Bedingung für das harmonische Mittel erhält man



und aus der Bedingung für das quadratische Mittel



Mit der linearen Substitution

, also

wird daraus





Durch Addition der Gleichungen kann man eliminieren:



Damit ist oder .

[attach]52971[/attach]

Ich frage mich aber, ob negative Werte beim harmonischen Mittel sinnvoll sind. Dann käme nur in Frage. Und inwiefern die Bezeichnung "arithmetisches Mittel" zurecht trägt, versehe ich ebenfalls mit Zweifeln. Im allgemeinen versteht man darunter eher . Aber ich bin kein Statistiker. Vielleicht gibt es da eine Unterabteilung, wo man mit dem arithmetischen Mittel etwas anderes meint.
 
 
matheskater Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Ja, es war mein Fehler, das arithmetische Mittel ist natürlich als (x+y)/2 definiert.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Aus der Bedingung für das harmonische Mittel erhält man



und aus der Bedingung für das quadratische Mittel



Großes Kompliment an Leopold! Selbst Maple kann da nicht nach x und y auflösen.
Im Übrigen lautet eine der Lösungen:

,
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen ja meine obige Empfehlung mit der quartischen Gleichung, die man durch Auflösen der ersten Gleichung nach y und Einsetzen in die zweite erhält:



mit den vier Lösungen









Interessant übrigens, dass mit den entsprechenden ebenfalls recht krummen y-Werten als arithmetisches Mittel zwei wunderbar glatte Zahlen herauskommen...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Selbst Maple kann da nicht nach x und y auflösen.

Das kann ich mir nicht vorstellen. Mathematica kann das, ohne dass man das Gleichungssystem per Hand in eine quartische Gleichung verwandelt. Also sollte das auch Maple können.

Der Sinn der Aufgabe besteht aber sicher darin, das Problem auf quadratische Gleichungen zu reduzieren, wie es Leopold im Detail vorgeführt hat.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für



rechnet man



so daß man



als allgemeine Beziehung zwischen dem arithmetischen, quadratischen und harmonischen Mittel zweier Zahlen erhält.

In unserem Fall ist und , also



Die quadratische Gleichung hat die Lösungen und .
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