Darstellungsmatrix, Basiswechsel |
| 12.04.2021, 15:16 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Darstellungsmatrix, Basiswechsel ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz: Sei eine Projektion, also , für die gilt: und Berechnen Sie (also von B nach C) für: Mich irritiert, dass die Basen die gleichen sind und ich weiß nicht wirklich, wie mir die Info über den Kern bzw. das Bild weiterhelfen soll. Wenn die Basen gleich sind, wozu dann der Basiswechsel? Würde mich über Tipps freuen 
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| 12.04.2021, 15:30 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel
Du kannst dir ja mal Gedanken machen, was f((1,2)) und f((1,-1)) ist. Damit solltest du relativ leicht die Aufgabe b lösen.
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| 12.04.2021, 19:45 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Wenn (1,2) im Kern ist, müsste f((1,2)) ja der Nullvektor sein, richtig? Aber bei dem Bild? 
Was soll mir f o f = f sagen? |
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| 13.04.2021, 08:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel
Ja. f o f = f besagt, daß für jedes x aus der Urbildmenge die Beziehung (f o f)(x) = f(f(x)) = f(x) gilt. Mithin gilt für jedes y aus im(f) die Gleichung f(y) = y. Damit weißt du, was f((1, -1)) ist.
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| 13.04.2021, 08:33 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Danke Dir! Dann ist f((1, -1)) = (1, -1). Aber ich verstehe immer noch nicht, wie mir das helfen soll, die Aufgabe b) zu lösen
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| 13.04.2021, 09:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Nun ja, du kennst doch jetzt die Bilder der Basisvektoren. Damit ist es zur Abbildungsmatrix nur noch ein kleiner Schritt. |
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| 13.04.2021, 14:14 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Das heißt, dass die Abbildungsmatrix = ist. Wie kann ich das kontrollieren? |
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| 13.04.2021, 14:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Anscheinend hast du nicht verstanden, wie eine Abbildungsmatrix erstellt wird. Zur Erinnerung: in den Spalten stehen die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis des Bildraums von den Bildern der Basisvektoren des Urbildraums. Und in Latex kann man so eine Matrix machen: |
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| 13.04.2021, 15:18 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Danke für deine Hilfe, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter, jetzt verwirrt mich Bild und Urbildraum. Urbildraum ist der R^2, genau so wie der Bildraum. Die Basisvektoren der Basen sind (1,2) und (1,-1), deren Bilder sind (0,0) und (1,-1). Also sind (1,2) und (1,-1) im Urbildraum und (0,0) und (1,-1) im Bildraum. |
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| 13.04.2021, 19:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Richtig. Jetzt mußt du die Bildvektoren als Linearkombination aus den Basis-Vektoren des Bildraums (in diesem Fall sind die Basen gleich) darstellen. Diese sogenannten Koordinatenvektoren bilden die Spalten der Abbildungsmatrix. |
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| 13.04.2021, 19:50 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Ich soll also (0,0) und (1,-1) als Linearkombination von (0,0) und (1,-1) darstellen? Oder was sind hier die "Vektoren des Bildraums"? |
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| 13.04.2021, 19:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Sorry. Gemeint sind die "Basis-Vektoren des Bildraums", also (1,2) und (1,-1). (Ich habe es korrigiert.) |
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| 13.04.2021, 20:08 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel (0,0) = x*(1,2) + y*(1,-1) (1,-1) =x*(1,2) + y*(1,-1) aus der ersten Gleichung folgt x = y = 0 und aus der zweiten x = 0, y = 1 oh ich dachte ich hatte diese Matrix vorhin geschrieben, aber sehe das war eine andere. Na gut, aber wie kann ich das jetzt überprüfen?
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| 13.04.2021, 20:29 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Also überprüfen kann man da nicht wirklich viel. Bestenfalls mal die Matrix mit den Vektoren (1, 0) und (0, 1) multiplizieren und dann den sich ergebenden Koordinatenvektor linear mit den Basisvektoren verknüpfen. |
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| 13.04.2021, 20:33 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Ok danke nochmal! Ich stand da wohl etwas auf dem Schlauch, ist mir jetzt deutlicher geworden. Hast du noch eine Idee für die Aufgabe a)? |
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| 13.04.2021, 20:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Wenn du die Vektoren (1, 0) und (0, 1) als Linearkombination der Vektoren (1,2) und (1,-1) darstellst, kannst du danach leicht die Abbildung f anwenden. |
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| 14.04.2021, 09:04 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel (1,0) = 1/3*(1,2) + 2/3*(1,-1) (0,1) = 1/3*(1,2) - 1/3*(1,-1) Ok, jetzt weiß ich, dass die Basisvektoren als Linearkombination dargestellt werden können... Worauf soll ich jetzt die Abbildung f anwenden können? |
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| 14.04.2021, 09:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel f((1,0)) = f(1/3*(1,2) + 2/3*(1,-1)) = ... f((0,1)) = f(1/3*(1,2) - 1/3*(1,-1)) = ... Die Ergebnisse mußt du dann jeweils als Linearkombination von (1, 0) und (0, 1) darstellen. |
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| 14.04.2021, 19:20 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Damit komme ich auf die Abbildungsmatrix: |
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| 15.04.2021, 08:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Darstellungsmatrix, Basiswechsel Richtig. 
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