Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?

13.04.2021, 12:13

miewf

Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?

Meine Frage:
Es sei eine Pyramide ABCDE gegeben. Die Grundfläche ABCD ist quadratisch und die Seitenflächen sind alle gleichseitige Dreiecke.

Auf der Seitenfläche CDE setze man ein regelmäßiges Tetraeder CDEF auf.

Untersuchen Sie den neu entstandenen Körper ABCDEF. Hat dieser sieben Seitenflächen oder weniger?

Meine Ideen:
Ich habe mir hier zwei Modelle gebaut und erkennt, dass der Körper ABCDEF fünf Seitenflächen hat, weiß aber leider nicht, wie ich das beweisen kann.

13.04.2021, 12:37

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?

Zitat:

Original von miewf
[Meine Ideen:
Ich habe mir hier zwei Modelle gebaut und erkennt, dass der Körper ABCDEF fünf Seitenflächen hat, weiß aber leider nicht, wie ich das beweisen kann.

[attach]52972[/attach][quote]

Ich würde sagen, eine Fläche, die Verbindungsfläche geht als Seitenfläche verloren und Du gewinnst drei neue Setenflächen hinzu.

13.04.2021, 12:42

miewf

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?
Der Tetraeder soll auf der Seitenfläche CDE angesetzt sein. Bei der Konstruktion sieht es so aus, als wäre dieser lediglich auf einer Seite der Pyramide angesetzt worden.

Bei meinem Modell sind jeweils eine Dreiecksfläche des Tetraeder mit einer der Pyramide zu einem Parallelogramm "verschmolzen". Und das in zwei Fällen, deswegen kam ich auf die Aussage mit insgesamt 5 Seitenflächen des Körpers ABCDEF.

geschockt

13.04.2021, 12:53

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?

Zitat:

Original von miewf
Der Tetraeder soll auf der Seitenfläche CDE angesetzt sein. Bei der Konstruktion sieht es so aus, als wäre dieser lediglich auf einer Seite der Pyramide angesetzt worden.

Nun schaue Dir doch mal an, durch welche Punkte beide Pyramiden, die orange und die lilane, in meiner Zeichnung verbunden sind! C - D - E

13.04.2021, 12:56

miewf

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?
Aber dann erkenne ich doch, dass BCFE und analog auch ADFE Parallelogramme sind und somit nicht mehr als zwei einzelne Dreiecke gezählt werden, oder?

13.04.2021, 13:34

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?
Ich bin meine Simulation mit Geogebra noch einmal durchgegangen und sehe: Du hast recht!
Zur Vorgehensweise: Rechne mit Ortsvektoren!

13.04.2021, 15:25

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?
Gehen wir die Punkte mal durch, so wie ich sie in meiner Zeichnung definiert habe:

A: $\begin{eqnarray*} \vec a=(-2,2,0)^T \end{eqnarray*}$
B: $\begin{eqnarray*} \vec b=(-2,-2,0)^T \end{eqnarray*}$
C: $\begin{eqnarray*} \vec c=(2,-2,0)^T \end{eqnarray*}$
D: $\begin{eqnarray*} \vec d=(2,2,0)^T \end{eqnarray*}$
E: $\begin{eqnarray*} \vec e=(0,0,\sqrt{8})^T \end{eqnarray*}$

Definieren wir mal einen Punkt F: $\begin{eqnarray*} \vec f=\vec e+\left(\vec c-\vec b\right)=(4,0,\sqrt{8})^T \end{eqnarray*}$

Allein aufgrund seiner Definition hat er von den Punkten C,D und E einen Abstand von 4.
Daher beschreiben die Punkte C,D,E,F ein Tetraeder.

13.04.2021, 15:31

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die gerade quadratische Pyramide hat lauter gleich lange Kanten, ist also ein halbiertes reguläres Oktaeder. Ist $\begin{align*} a \end{align*}$ die Seitenkante und $\begin{align*} h \end{align*}$ die Höhe der Pyramide, so gilt folglich $\begin{align*} h^2 + \frac{1}{2} a^2 = a^2 \end{align*}$ , also $\begin{align*} h = \sqrt{\frac{1}{2}} \, a \end{align*}$ . Nun lege ich eine solche Pyramide mit $\begin{align*} a=6 \end{align*}$ so in ein Koordinatensystem, daß die Punkte $\begin{align*} A,B,C,D,E \end{align*}$ die Ortsvektoren

$\begin{align*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{d} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{e} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}$

bekommen. Der Mittelpunkt $\begin{align*} G \end{align*}$ von $\begin{align*} BCD \end{align*}$ hat den Ortsvektor

$\begin{align*} \vec{g} = \frac{1}{3} \left( \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}$

Ein Normalenvektor der Ebene $\begin{align*} CDE \end{align*}$ ist

$\begin{align*} \vec{n} = \frac{\sqrt{2}}{9} \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CE} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}$

Der Vorfaktor wurde so gewählt, das $\begin{align*} \vec{n} \end{align*}$ die Länge der Höhe im regulären Tetraeder $\begin{align*} CDEF \end{align*}$ hat. Die muß nämlich $\begin{align*} \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot a = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 6 = 2 \sqrt{6} \end{align*}$ betragen, und $\begin{align*} \left| \vec{n} \right| = 2 \sqrt{6} \end{align*}$ paßt dazu. Offenbar zeigt $\begin{align*} \vec{n} \end{align*}$ von der Pyramidenfläche $\begin{align*} CDE \end{align*}$ nach außen. Jetzt können wir den Ortsvektor von $\begin{align*} F \end{align*}$ bestimmen:

$\begin{align*} \vec{f} = \vec{g} + \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align*}$

Man rechnet nun

$\begin{align*} \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

Der Streckenzug $\begin{align*} BCFE \end{align*}$ umrandet also tatsächlich ein Parallelogramm.

Somit bilden die Dreiecke $\begin{align*} BCE \end{align*}$ und $\begin{align*} CEF \end{align*}$ das Parallelogramm $\begin{align*} BCFE \end{align*}$ , aus Symmetriegründen bilden ebenso die Dreiecke $\begin{align*} ADE \end{align*}$ und $\begin{align*} DEF \end{align*}$ das Parallelogramm $\begin{align*} ADFE \end{align*}$ .

Von den ursprünglich 6 Seitenflächen (ohne die Grundfläche $\begin{align*} ABCD \end{align*}$ gerechnet) verschmelzen also zweimal zwei. Der Körper hat daher 4 Seitenflächen, dazu noch die Grundfläche, insgesamt wird er also von 5 Flächen berandet.

EDIT
Es ist natürlich auch clever, erst den Punkt F über die Parallelogrammeigenschaft zu definieren und dann nachzuweisen, daß er von C,D,E denselben Abstand hat. (Ulrich Ruhnau)

14.04.2021, 09:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch für Leute, die gerne basteln, ein Netz des Körpers.

[attach]52973[/attach]

Ausdrucken, ausschneiden (eventuell noch Klebelaschen anbringen), zusammenkleben.
Man kann den Körper auch als schiefes Prisma ansehen. Die Grundflächen sind $\begin{align*} CDF \end{align*}$ und $\begin{align*} BAE \end{align*}$ , die Seitenfläche zwischen den Kanten $\begin{align*} CD \end{align*}$ und $\begin{align*} BA \end{align*}$ ist ein Quadrat, die beiden anderen Seitenflächen sind Rauten mit einem 60°-Winkel.

Neue Frage »

Antworten »

Wie viele Seitenflächen hat dieser Körper?

Verwandte Themen