Extremwert

13.04.2021, 12:45

analyser

Extremwert

Hallo

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a}{cos^2(x)}+\frac{b}{(1+\sqrt{2} \cdot sin(x))^2} \end{eqnarray*}$ mit beliebigen reellen Zahlen a und b

Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle, wo die Ableitung Null wird.

Wenn man nun konkret die Extremstellen ausrechnen will, dann entsteht eine eher unhandliche Gleichung.
Eine Idee wäre noch, dass man versucht den Funktionsterm nach oben oder unten abzuschätzen.

Hat jemand eine Idee, wie man das Problem lösen könnte ?

13.04.2021, 12:54

klarsoweit

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RE: Extremwert

Zitat:

Original von analyser
Eine Idee wäre noch, dass man versucht den Funktionsterm nach oben oder unten abzuschätzen.

Hm, ich sehe aber nicht, wie das zur Beantwortung der Fragestellung beitragen kann. Auf dem Hintergrund der Tatsache, daß die Brüche an diversen Stellen nicht definiert sind, würde ich gerne wissen, wie der Originaltext der Aufgabe lautet.

13.04.2021, 13:14

analyser

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Zitat:

würde ich gerne wissen, wie der Originaltext der Aufgabe lautet

Habe ich auch nachgefragt. Mir wurde das genau so weitergegeben (es ist eine Aufgabe von einer Kollegin, die das mit einer Bekannten aus China lösen wollte).

13.04.2021, 13:17

Ulrich Ruhnau

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RE: Extremwert

Zitat:

Original von analyser
Hallo

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a}{cos^2(x)}+\frac{b}{(1+\sqrt{2} \cdot sin(x))^2} \end{eqnarray*}$ mit beliebigen reellen Zahlen a und b

Gesucht ist der Funktionswert an der Stelle, wo die Ableitung Null wird.

Der cos-Term wird minimal an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=n\pi \end{eqnarray*}$ und der sin-Term an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=\frac\pi2+2n\pi \end{eqnarray*}$ . Mehr ist mit Abschätzen nicht zu machen.

13.04.2021, 13:56

gast_free

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RE: Extremwert
Da hilft alles nichts. Die Ableitung sollte man schon bilden.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a}{cos^2(x)}+\frac{b}{(1+\sqrt{2}+sin(x))^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=a\cdot \frac{2\cdot cos(x)\cdot sin(x)}{cos^4(x)}-b\cdot \frac{2\cdot sin(x)\cdot cos(x)}{(1+\sqrt{2}+sin(x))^4} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man schon durch bloßes anstarren sehen, an welchen Stellen die Ableitungsfunktion Null wird.

Ganz sicher, wann die beiden Zähler Null werden. Wenn sin(x)=0. Der Fall cos(x)=0 ist nicht erlaubt, da sonst der erste Nenner Null würde.

$\begin{eqnarray*} sin(x)=0 => x=0, x=n\cdot \pi; n \in Z \end{eqnarray*}$

Man kann noch durch rechnen prüfen ob es andere Nullstellen gibt.

$\begin{eqnarray*} a\cdot \frac{2\cdot cos(x)\cdot sin(x)}{cos^4(x)}=b\cdot \frac{2\cdot sin(x)\cdot cos(x)}{(1+\sqrt{2}+sin(x))^4} \end{eqnarray*}$

13.04.2021, 16:51

Huggy

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RE: Extremwert

Zitat:

Original von gast_free
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a\cdot \frac{2\cdot cos(x)\cdot sin(x)}{cos^4(x)}-b\cdot \frac{2\cdot sin(x)\cdot cos(x)}{(1+\sqrt{2}+sin(x))^4} \end{eqnarray*}$

Der zweite Summand ist nicht korrekt. Im ersten Summanden kann man getrost $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ kürzen. Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2 \left (a \frac {\sin x}{\cos^3 x}-b \frac {\sqrt 2 \cos x}{(1+ \sqrt 2 \sin x)^3} \right ) \end{eqnarray*}$

Damit sehe ich keine von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ unabhängige Lösung für $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

13.04.2021, 17:22

analyser

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2 \left (a \frac {\sin x}{\cos^3 x}-b \frac {\sqrt 2 \cos x}{(1+ \sqrt 2 \sin x)^3} \right ) \end{eqnarray*}$

Genau auf diese Ableitung kam ich auch - das war ja auch das geringste Problem und eher Schulmathe.
Nur die Nullstellen davon von Hand zu bestimmen, damit kam ich nicht wirklich weiter.

13.04.2021, 17:44

Huggy

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Wenn man die rechte Seite auf den Hauptnenner bringt und dann den Zähler gleich Null setzt, erhält man eine quartische Gleichung in der Variablen $\begin{eqnarray*} y=\sin x \end{eqnarray*}$ . Da kann ich dir nur zustimmen:

Zitat:

Original von analyser
Wenn man nun konkret die Extremstellen ausrechnen will, dann entsteht eine eher unhandliche Gleichung.

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