Konvergenz der Reihe

14.04.2021, 12:04	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Reihe Meine Frage: Hallo zusammen, ich hab eine Frage bezüglich folgender Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k+1} \frac{\begin{pmatrix} -1/2 \\ k \end{pmatrix}}{2k+1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* ich weis das es wohl gegen -?/2 geht (händisch berechnet). Allerdings muss es doch einer schnelleren Weg geben, welcher mir aber nicht ersichtlich ist. Vielen Dank natürlich schon einmal im Voraus! Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
14.04.2021, 12:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \left( 1 + t \right)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} {{\alpha} \choose k} \cdot t^k \end{align}$ $\begin{align} \left( 1 - x^2 \right)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k {{\alpha} \choose k} \cdot x^{2k} \end{align}$ $\begin{align} \int_0^x \left( 1 - \xi^2 \right)^{\alpha} ~ \dd \xi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} {{\alpha} \choose k} \cdot x^{2k+1} \end{align}$ Für $\begin{align} \alpha = - \frac{1}{2} \end{align}$ ist der Konvergenzradius der Reihe 1. Der Abelsche Grenzwertsatz erlaubt es, auch $\begin{align} x=1 \end{align}$ einzusetzen, falls die Reihe konvergiert.
14.04.2021, 13:16	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold! erstmals vielen Dank! Ich glaub ich habe jetzt eine schnellere Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} -1/2 \\ k \end{pmatrix} \frac{-1^{k+1} }{2k+1}<br /> <br /> = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} -1/2 \\ k \end{pmatrix}\frac{-1^{2k+1} }{2k+1}(-1)^{k} = \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} -1/2 \\ k \end{pmatrix}\frac{-1 }{2k+1}(-1)^{k} <br /> <br /> und das ja die = arcsin(x) an der stelle x=-1/2 also -pi/2 ist. \end{eqnarray*}$ Ist das korrekt? Viele Grüße!
14.04.2021, 13:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen von ein paar fehlenden Klammern um die -1 ist das korrekt. Im Prinzip hat Leopold die arcsin-Reihe aus der Binomialreihe hergeleitet, d.h., für $\begin{eqnarray} \|x\|\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \arcsin(x) = \int\limits_0^x \left( 1 - \xi^2 \right)^{-\frac{1}{2}} ~ \dd \xi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} \binom{-\frac{1}{2}}{k} \cdot x^{2k+1} \end{eqnarray}$ , und das wird für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ angewandt.
14.04.2021, 16:53	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Reihe sollte aber wohl dem Arsinh(x) entsprechen oder? Viele Grüße
14.04.2021, 16:54	MaWie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sorry ist natürlich falsch, zuviel gebüffelt heute.
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