Äquivalenz von 2 Erwartungswerten

14.04.2021, 18:26	ea121	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von 2 Erwartungswerten Angenommen es gilt $\begin{eqnarray} \mathbb E[S_T]=\mathbb E'[1/S_T] \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \mathbb E' \end{eqnarray}$ der Erwartungswert bzgl. eines anderen Maßes $\begin{eqnarray} \mathbb P' \end{eqnarray}$ Folgt dann ( $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist eine Konstante > 0) $\begin{eqnarray} \mathbb E[(1/K-S_T)^+]=\mathbb E'[(1/K-1/S_T)^+] \end{eqnarray}$ ? Dabei ist $\begin{eqnarray} (x)^+:=\max\{x,0\} \end{eqnarray}$
14.04.2021, 20:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da lässt sich ganz einfach ein Gegenbeispiel finden, sogar eins mit $\begin{eqnarray} P=P' \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} S_T \end{eqnarray}$ wählen wir schlicht eine Zweipunktverteilung $\begin{eqnarray} P(S_T=4) = \frac{2}{7} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P\left(S_T=\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{7} \end{eqnarray}$ , man überprüft dann leicht $\begin{eqnarray} E\left[S_T\right] = E\left[\frac{1}{S_T}\right] = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ und als Konstante wähle man beispielsweise $\begin{eqnarray} K=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Dann bekommen wir $\begin{eqnarray} E\left[\left(2-S_T\right)^+\right] = \frac{3}{2}\cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{14} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E\left[\left(2-\frac{1}{S_T}\right)^+\right] = 2-E\left[\frac{1}{S_T}\right] = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ .

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