Beweis(e) mithilfe von Äquivalenzrelationen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis(e) mithilfe von Äquivalenzrelationen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe heute eine (vielleicht ungewöhnliche) Frage zu Äquivalenzrelationen. Ich denke das grundlegende Prinzip soweit verstanden zu haben, bin jedoch auf der Suche nach einem Beispiel/Beweis, in dem die Äquivalenzklassen die zentrale Rolle spielen, um eine Aussage zu beweisen.

Mir ist klar, dass wenn Objekte bzgl. einer Eigenschaft gleich sind, dass ich dies dann mithilfe von Äquivalenzrelationen nachweisen kann. Ich kann dann die große Menge verkleineren, in dem ich zur Quotientenmenge übergehe. Innerhalb dieser Idee/Theorie gibt es natürlich spannende Beweise, zum Beispiel, dass jede Funktion eine Äquivalenzrelation definiert oder dass Äquivalenzklasse entweder gleich oder disjunkt sind etc.

Ich suche aber noch einem Beweis, in dem man versucht etwas zu zeigen, und dann wendet man tatsächlich mal die Idee der Äquivalenzrelation an um das Problem dann besser "packen" zu können. Also eine Art Anwendung, bislang finde ich immer nur Beispiele für eine Äquivalenzrelation (auch viele aus dem Alltag), aber nie so richtig eine Anwendung, wo mit diesem Konzept gearbeitet wird.
Ich kann mir natürich vorstellen, dass es für Informatik beim Programmieren eine Rolle spielt, wenn ich alle Produkte eines Supermarktes bzgl. des gleichen Preises zusammenfassen möchte, aber das wars auch...

Eine interessante Anwendung, die ich fand, war in der Topologie das Möbiunsband mithilfe von Äquivalenzrelationen auf den Kanten des Quadrates zu beschreiben... Das greift aber weniger die Idee auf, dass man eine große Menge durch die Äquivalenzrelation und Übergang zum Quotientenraum verkleinert.

Ich denke irgendwie an Lineare Funktionen mit gleicher Steigung, Dann hätte ich in der Quotientenmenge nur noch Ursprungsgeraden zum Beispiel, aber was könnte ich interessantes dann damit anstellen, was Schülerinnen und Schüler nachvollziehen können (Oberstufe natürlich).



Meine Ideen:
Vielleicht hat ja jemand eine naheliegende Idee oder was kreatives im Kopf smile

Viele Grüße

EDIT:
Ansonsten finde ich es eben ein schönes Thema, um zu zeigen, wie die Mathematik einheitliche Begriffe einführt, für das was wir um uns erleben (Schulklasse, Tierarten etc.) und mal so mal so beschreiben. Durch die Mathematik wird es dann vereinheitlicht smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Carl Friedrich Gauß hat als genialer junger Mathematiker mit seinen Disquisitiones Arithmeticae die Grundlage für die Entwicklung der Zahlentheorie geschaffen. Einen wesentlichen Anteil daran hat seine Kongruenzrechnung mod m, deren Restklassen aus den ganzrationalen Zahlen bestehen, die bei Division durch m denselben Rest r lassen, wobei . Nach der logischen Begründung der Gleichheit, bekanntlich der Urtyp aller Aequivalenzrelation, durch Gottfried Wilhelm Leibniz, haben wir damit zwei wesentliche Aequivalenzrelationen zur Verfügung.
Mit beiden kann man die Grundrechenarten unbeschränkt ausführen, wenn m eine Primzahl ist, abgesehen von der Division durch 0. Addieren, subtrahiern und multiplizieren kann man für jede ganze Zahl m. Mit beiden kann man Gleichungen und Kongruenzen aufstellen und lösen, und man kann die Gleichungen und Kongruenzen addieren und multiplizieren. Mein Professor, ein Gott der Zahlentheorie, hat immer wieder gesagt : "Die Kongruenzrechnung gehört an die Oberstufe der Gymnasien."

In der Linearen Algebra lernt man dann an der Universität den Homomorphiesatz und die Isomorphiesaetze für Vektorräume kennen und erkennt die Dimension als Invariante der Klasse aller isomorphen Vektorräume. Das Konzept der Isomorphie als Aequivalenzrelation algebraischer Strukturen wird dann in der Algebra auf Gruppen, Ringe, Körper,... übertragen.

Genauso klassifiziert und erforscht jede mathematische Theorie ihre Objekte und Strukturen durch Aequivalenzrelationen, z.B. Quadriken, Knoten, Riemannsche Flächen oder topologische Räume, metrische Räume,...

Pädagogisch wichtig scheint mir die Tatsache, dass auf jeder Menge viele Aequivalenzrelationen leben. Ein Skatspiel lässt sich nach z.B. 32 Karten, 4 Farben, 10 Werten einteilen, das ist keine Diskriminierung sondern eine Unterscheidung. Jeder Mensch gehört nahezu unendlich vielen Aequivalenzklassen an, dadurch sind alle Menschen gleich als Element der Menschheit und alle Menschen unterschiedlich als Individuen. Jede andere Aequivalenzrelation auf der Menschheit ist möglich, darf stets wertneutral zur Unterscheidung und Einteilung benutzt aber niemals zur Diskriminierung und Entrechtung missbraucht werden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis(e) mithilfe von Äquivalenzrelationen
Die Konstruktion der Vitali-Menge nutzt Äquivalenzrelationen: Wikipedia
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die merkwürdigen Entitäten in Raum und Zeit und in der Raumzeit, die an meinem Geburtstag geboren wurden, zu jedem Zeitpunkt ihres Lebens so aussahen wie ich zu der Zeit genau das taten, was ich tat, und womöglich noch etwas weiser werden bis an ihr Lebensende, fasse ich zur Aequivalenzklasse "Ich" zusammen. Womit meine Existenz bewiesen wäre. smile Diese Klasse ist nicht zu verwechseln mit den Menschen, die sich nur Elvis nennen ohne Ich zu sein. Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Bruchrechnung
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kongruente Dreiecke in der euklidischen Geometrie kennt jeder Schüler. Kongruenz von Figuren ist in jeder Geometrie eine Aequivalenzrelation. Sie stehen im Zusammenhang mit Gruppen von Abbildungen des geometrischen Raums, die die Kongruenz erhalten, z.B. Bewegungen (Translation und Drehungen) und Spiegelungen in der euklidischen Geometrie.

Es gibt auch sehr interessante Zusammenhänge zwischen Kongruenzen und Symmetrien in der Physik. Die Krönung des ganzen Spktakels ist das Noethertheorem, das den Zusammenhang zwischen Symmetrien in physikalischen Naturgesetzen und zugehörigen Erhaltungsgroessen beschreibt.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Mega, ich danke Euch für die guten Gedankenansätze. Daraus lässt sich nun einiges bastenln smile Wink
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