Komposition einer Funktion

15.04.2021, 14:21

HiBee123

Komposition einer Funktion

Hallo!

es gilt zu zeigen dass sich JEDE Funktion als die Komposition einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben lässt.

Ich seh das leider nicht. Wenn ich zum Bespiel F(x) habe mit F(X) ist dirichletsche sprungfunktion für alle x außer 4 wo sie sagen wir mal 5 ist, wie kann ich denn das als komposition wie oben verlangt ist schreiben?

15.04.2021, 14:39

Leopold

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Kennst du die hyperbolischen Funktionen $\begin{align*} \cosh \end{align*}$ und $\begin{align*} \sinh \end{align*}$ ? Mit der Exponentialfunktion $\begin{align*} \exp \end{align*}$ hängen sie folgendermaßen zusammen:

$\begin{align*} \cosh(x) = \frac{1}{2} \left( \exp(x) + \exp(-x) \right) \, , \ \ \sinh(x) = \frac{1}{2} \left( \exp(x) - \exp(-x) \right) \end{align*}$

Und es gilt: $\begin{align*} \cosh \end{align*}$ ist gerade, $\begin{align*} \sinh \end{align*}$ ist ungerade, und $\begin{align*} \cosh + \sinh = \exp \end{align*}$ .

Jetzt spickst du das einfach für eine beliebige Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ von $\begin{align*} \exp \end{align*}$ ab. Was $\begin{align*} \exp \end{align*}$ kann, kann $\begin{align*} f \end{align*}$ schon lange!

15.04.2021, 15:29

klauss

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RE: Komposition einer Funktion
Es würde sich hierzu bestimmt lohnen, einen Blick in das Buch 'Inside Interesting Integrals' zu werfen (ist als PDF downloadbar, den Link muß man halt selbst finden).
Ich hatte darin aufgrund dieses Beitrags mal geschmökert, wo ein einschlägiger Trick gleich auf S. 12 ff. präsentiert wird.

15.04.2021, 15:42

HiBee123

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Tut mir leid. Ich sehs noch immer nicht. verwirrt

Wieso muss denn das was für exp gilt auf jeden Fall auch für f gelten? exp(0)=1 deshalb ist ja auch noch nicht f(0)=1... Ich glaube du hast irgendeinen Schritt übersprungen, der dir trivial erschien.

15.04.2021, 15:53

klarsoweit

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Bilde doch mal die Funktion $\begin{eqnarray*} F_1(x) := f(x) + f(-x) \end{eqnarray*}$ . Was kannst du zu dieser Funktion sagen?

15.04.2021, 16:38

HiBee123

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F1(x) ist gerade weil F1(-x)=F1(x)

15.04.2021, 16:47

Leopold

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Zitat:

Original von HiBee123
Wieso muss denn das was für exp gilt auf jeden Fall auch für f gelten?

Niemand hat das je gesagt. Nur du hast das gehört.
Ich habe lediglich gesagt, du sollst den Vorgang, der auf $\begin{align*} \exp \end{align*}$ angewendet wird, übernehmen. Du sollst abspicken, wie $\begin{align*} \exp \end{align*}$ es macht und es dann mit $\begin{align*} f \end{align*}$ nachmachen. Aber jetzt hat dir klarsoweit sowieso mit der Straßenlaterne gewunken.

15.04.2021, 17:59

HiBee123

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Ach so ja

Jetzt raff ich's Danke!

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