Differenzierbarkeit beschränkte Funktion

16.04.2021, 14:03

HiBee123

Differenzierbarkeit beschränkte Funktion

Hallo.
Wir nehmen an h und f Funktion in R. h diffbar in h(0) mit h(0)=h'(0) =0 und es gibt C, epsilon>0
$\begin{eqnarray*} | f(x) | \leq C \cdot h(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \left(-\epsilon,\epsilon\right) \end{eqnarray*}$
jetzt gilt erstmal zu zeigen dass dann auch f(0) Diffbar ist. und dann dass das aber nur für 0 gilt. Dass heißt man muss eine Funktion finden für die die ungleichung gilt und die NUR in 0 diffbar ist-

unglücklich

ich sehs leider nicht... vielleicht über die grenzwertsätze?

und das Gegenbeispiel ... vielleicht eine Kompostion mit der Dirichletfunktion?
verwirrt

16.04.2021, 17:46

Leopold

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RE: Differenzierbarkeit beschränkte Funktion
Mit der gegebenen Abschätzung (da fehlen wohl noch Betragsstriche) für $\begin{align*} f \end{align*}$ kannst du zunächst $\begin{align*} f(0) \end{align*}$ bestimmen. Dann stellst du den Differenzenquotienten von $\begin{align*} f \end{align*}$ an der Stelle 0 auf und schätzt seinen Betrag mit der Ungleichung durch den Betrag des Differenzenquotienten von $\begin{align*} h \end{align*}$ ab.

Beim zweiten Teil der Aufgabe ist mir nicht klar, ob $\begin{align*} h \end{align*}$ vorgegeben ist und du zu $\begin{align*} h \end{align*}$ ein passendes $\begin{align*} f \end{align*}$ finden sollst oder ob du $\begin{align*} h \end{align*}$ und $\begin{align*} f \end{align*}$ geeignet bestimmen sollst.

Du solltest auf eine exakte Sprache achten. In der Sprache drückt sich auch immer Verständnis aus. Bemühe dich, Aufgabentexte genau zu lesen und sie so zu nehmen, wie sie geschrieben sind. Eigenständige "Vereinfachungen" des Aufgabentextes, die nur aus Oberflächlichkeit und Bequemlichkeit gemacht werden, weil man ihn nicht gleich versteht, können zu sinnlosen Aufgabenstellungen führen.

Zitat:

Original von HiBee123
dass dann auch f(0) Diffbar ist

Du solltest so etwas nie schreiben, auch nicht, wenn es einmal schnell gehen muß. "Dass auch f(0) differenzierbar ist", ist ziemlich sinnlos. f(0) ist eine Zahl. Wie kann eine Zahl differenzierbar sein? Ist die Zahl 135 differenzierbar? Oder die Zahl -4988,72? Richtig muß es heißen: "dass die Funktion an der Stelle 0 differenzierbar ist" (oder kürzer: "... in 0 differenzierbar ist"). Und in dieser Formulierung wird sprachlich zum Ausdruck gebracht, daß die Differenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft einer Funktion (und nicht etwa einer Zahl) ist. Und darauf kommt es an!

Zitat:

Original von HiBee123
und das Gegenbeispiel ... vielleicht eine Kompostion mit der Dirichletfunktion?

Auch hier ist nicht ganz klar, was du mit Kompos(i)tion meinst. In der Lehre der Abbildungen versteht man unter "Komposition" die Verkettung der Abbildungen. Du scheinst dieses Wort in einem allgemein-sprachlichen Sinne zu verstehen: irgendwas mit der Dirichletfunktion machen. Wenn du aber in Mathematik etwas Fachliches tust, kannst du die beiden Sprachebenen nicht einfach wirr durcheinander verwenden. Bleibe bei den Fachbegriffen der Mathematik. Sonst versteht man nicht, was du willst. Und mit "man" meine ich andere Menschen, aber auch dich selber.

Übrigens: Dirichletfunktion ist kein schlechtes Stichwort. Wie wäre es aber statt "Komposition" mit Multiplikation? Ob das geht, hängt wieder davon ab, was im zweiten Absatz meines Textes steht.

17.04.2021, 11:42

HiBee123

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RE: Differenzierbarkeit beschränkte Funktion
Hallo! Erstmal danke für die ausführliche Antwort. Erstmal stimmt mit der Sprache... ich meinte eigentlich das Produkt zweier Funktionen. Also zum Beispiel Dirichlet und x^2 ist überall kleiner gleich x^2 und stetig allein in 0 (So wie ich das verstanden hab darf man sich h und g beliebig auswählen) Das f(0) 0 ist bekommt man durch die Abschätzung (Ich hab das so abgeschrieben wie s in der Aufgabe steht... also nur einmal Betrag.) Aber wie ich auf F'(0) komme also...
F(h)/H<= C*g(h)/h vielleicht so argumentieren das der Grenzwert existieren muss?

17.04.2021, 15:43

Leopold

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Aus der Ungleichung folgt: $\begin{align*} h(x) \geq 0 \end{align*}$ . Dann nehmen wir das also jetzt an.

Setzen wir einmal $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ in die Ungleichung ein:

$\begin{align*} \left| f(0) \right| \leq C \cdot h(0) = C \cdot 0 = 0 \end{align*}$

Wegen der Betragsstriche steht links eine nichtnegative Zahl. Ist eine solche $\begin{align*} \leq 0 \end{align*}$ , dann kann sie nur 0 sein, also $\begin{align*} \left| f(0) \right| = 0 \end{align*}$ , und damit auch

$\begin{align*} f(0) = 0 \end{align*}$

Jetzt stellen wir als nächstes den Differenzenquotienten von $\begin{align*} f \end{align*}$ an der Stelle 0 auf und betrachten seinen Betrag:

$\begin{align*} \left| \, \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \, \right| = \left| \frac{f(x)}{x} \right| = \frac{\left| f(x) \right|}{\left| x \right|} \leq \frac{C \cdot h(x)}{|x|} = C \cdot \left| \frac{h(x)}{x} \right| \end{align*}$

Was passiert nun, wenn man $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ gehen läßt?

17.04.2021, 17:30

HiBee123

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Wenn man x gegen 0 laufen lässt ergibt sich rechts genau die Ableitung von H(0) die nach Definition 0 ist. Also konvergiert auch der rechte Wert gegen F'(0) Was scheinbar auch 0 ist...

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