Untervektorraum und Spann |
| 16.04.2021, 17:12 | MariaSch | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Untervektorraum und Spann Hallo Leute, Ich studiere Physik an der Uni Frankfurt und habe da ein paar lustige Aufgaben bekommen...... M1 ={?x?R4 |x3 =0}, M2 ={?x?R4 |x1 +x2 =0?x1 ?x3 =0}, M3 ={?x?R4 |x1 =1?x2 =1}, M4 ={?x?R4 |x1x2 =x3x4}. a) Bestimmen sie Basen für die Untervektorräume b)Bestimmen sie Basen für den jeweiligen Spann der mengen, die kein Untervektorraum sind Vielleicht hat ja jemand eine Idee und kann mir ein bisschen helfen... Danke! 
Meine Ideen: Die Aufgaben haben mir so große Probleme bereitet, dass ich nicht mal einen eigenen Ansatz bilden konnte..... |
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| 16.04.2021, 19:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Unterektorraumkriterium hilft immer, zum Beispiel bei M1 1. Ist die Menge nichtleer ? Oft ist es noch einfacher zu fragen, ob die Menge den Nullvektor enthält, denn dann ist sie nichtleer. Der Nullvektor muss ja in jedem Untervektorraum drinliegen, denn wenn ein Vektor drinliegt, dann liegt auch der Nullvektor drin. Für M1 gilt, dass der Nullvektor auch die dritte Komponente x3=0 hat, weil ja alle seine Komponenten 0 sind. Heureka, M1 ist nicht leer. 2. Ist die Summe von je zwei Vektoren in der Menge ? Zwei beliebige Vektoren aus M1 mit x3=0 und y3=0 habe eine Summe mit x3+y3=0+0=0, also immer drin. Heureka, die Menge ist bezüglich Summenbildung abgeschlossen. 3. Ist das skalare Vielfache eines Vektors in der Menge ? a beliebig, beliebig mit x3=0, dann hat die dritte Komponente a*x3=0, also immer drin. Heureka, die Menge ist bezüglich skalarer Multiplikation abgeschlossen. 1.,2.,3. M1 ist ein Untervektorraum von R4 Basis: eine Komponente liegt fest, nämlich x3=0. Die anderen sind frei. Entferne e3 aus der Standardbasis, dann hat M1 die Basis e1,e2,e4 und also die Dimension 3. |
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