Wurzelterm vereinfachen

17.04.2021, 19:54

whatso

Wurzelterm vereinfachen

Meine Frage:
Ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}+3} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

vereinfacht werden kann.

Ohne Zwischenschritt(e) verstehe ich jedoch nicht, wie man dort hin kommt.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die 3 auszuklammern

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}+1} \end{eqnarray*}$

Falls es bis hier richtig ist, weiß ich jedoch jetzt nicht mehr weiter.

Danke im Voraus.

17.04.2021, 19:57

Leopold

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Denke vom Ergebnis her und erkenne den Radikanden als Binom.

18.04.2021, 18:27

whatso

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Ich hatte zwar schon ein Binom im "Verdacht", bin aber bei gegebenem Radikanden irgendwie nicht weitergekommen.

Mit dem Tipp habe ich es jetzt nachvollziehen können.

Erst nochmal der letzte Term von oben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}+1} \end{eqnarray*}$

Der Radikand kann dann als Binom dargestellt werden.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\cdot\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2})^{2}} \end{eqnarray*}$

Wurzel und Quadrat heben sich auf.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Und dann kommen wir auf den finalen vereinfachten Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass alles an den Termen und Umrechnungen dann auch so stimmt.
Schönen Dank!

18.04.2021, 19:56

Elvis

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perfekt gelöst. Freude

da muss man aber wirklich erst mal drauf kommen.

18.04.2021, 20:20

Leopold

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Das vorherige Herausziehen von $\begin{align*} \sqrt{3} \end{align*}$ ist möglich, aber nicht erforderlich. Da man das Ergebnis schon kennt, kann man durch Quadrieren des Ergebnisses die Gleichheit verifzieren. Es sollte sich dabei der Radikand ergeben. Oder nach vorne gerechnet:

$\begin{align*} \sqrt{3 \cdot\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)} = \sqrt{\frac{3}{2} \sqrt{3} + 3} = \sqrt{\left( \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

19.04.2021, 20:45

whatso

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Alles klar, habe ich dann jetzt auch nochmal so nachvollziehen können.

Vielen Dank auf jeden Fall Freude

21.04.2021, 09:06

willyengland

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Schöne Aufgabe!
Rückwärts gerechnet ist es ziemlich einfach, aber vorwärts echt schwer, finde ich.
Also aus der Summe ein Binom zu machen.

21.04.2021, 10:12

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \sqrt{3 \cdot\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)} = \sqrt{\frac{3}{2} \sqrt{3} + 3} = \sqrt{\left( \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

Hallo Leopold,
mir ist der Rechenschritt vom zweiten Gleichheitszeichen nicht klar. Könntest Du mir mal erklären, was Du da gemacht hast, damit ich auch was dazu lerne?

21.04.2021, 13:02

willyengland

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Man muss zwei Sachen erkennen:
1. Dass man ein Binom braucht, um die Wurzel wegzubekommen
und
2. wie das in diesem Fall möglich ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}+3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{3\sqrt{3}+6}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{6\sqrt{3}+12}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{9+6\sqrt{3}+3}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{3^2+2*3\sqrt{3}+\sqrt{3}^2}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{(3+\sqrt{3})^2}{2^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

21.04.2021, 13:33

klauss

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RE: Wurzelterm vereinfachen
willyengland hat eigentlich genau die Schritte gezeigt, auf die man kommen kann, wenn man von der ursprünglichen Behauptung aus einfach strategisch vorgeht mit den Nebenbedingungen
- Ich schüttle nicht für jede beliebige Aufgabe einen passenden Trick aus dem Ärmel.
- Ich gehöre nicht zu denen, die immer hinterher genau wissen, wie es vorher am leichtesten gegangen wäre.
- Aber ich beherrsche meine Rechenregeln und kann ein bißchen mit Zahlen umgehen.

Bei Betrachtung der Aufgabe fällt auf:
1.) Das behauptete Ergebnis hat keine äußere Wurzel.
2.) Das behauptete Ergebnis ist ein Bruch mit Nenner 2.

Daraus folgt der Anfangsverdacht, dass sich der ursprüngliche Term zum Ergebnis entwickeln läßt, indem man diesen unter der Wurzel zu einem Bruch mit Nenner 4 erweitert und im Zähler eine binomische Formel erzeugt, so dass dann ein Wurzelgesetz zum Tragen kommt. Der Rest ergibt sich auf dem Weg.

21.04.2021, 14:00

Leopold

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@ klauss

Für reelle Zahlen $\begin{align*} x,w \geq 0 \end{align*}$ sind äquivalent: $\begin{align*} w = \sqrt{x} \ \Leftrightarrow \ w^2 = x \end{align*}$

Daher braucht man gar keine Tricks anzuwenden, sondern kann einfach $\begin{align*} w = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \left( 3 + \sqrt{3} \right) \end{align*}$ quadrieren. Lediglich die binomischen Formeln sollte man kennen.

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