Spezielle Funktion f(x) globales Maximum

21.04.2021, 02:36

Justice

Spezielle Funktion f(x) globales Maximum

Hallo liebe Mathemagier

f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{x}^{x^{\frac{1}{x}^{x^{\frac{1}{x}^{.^{.^{.^{.}}}}}}}}} \end{eqnarray*}$

Genau. Ein unendlicher Exponetenturm von x und 1/x alternierend. Für die Annäherung spielt es keine Rolle ob es mit x oder 1/x aufhört.

Es gibt ein interessantes globales Maximum für diese Funktion f(x).
Nehmlich x=2.131... mit y=f(x)=1.321...

Für die Funktion f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ergibt sich für das globale Maximum:
x=e=2.71828
y= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$ =1.44466

Find ich super interessant da die Zahl sich nicht einem Integer nähert oder sonst was langweiliges :P

Was meint ihr?

Gruss
Justice

21.04.2021, 09:24

Ulrich Ruhnau

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RE: Spezielle Funktion f(x) globales Maximum

Zitat:

Original von Justice
Für die Funktion f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ergibt sich für das globale Maximum:
x=e=2.71828
y= $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$ =1.44466

Das kann ich bestätigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x} x^{\left(\frac 1x \right)} =\frac{\dd}{\dd x} e^\left(\frac{\ln x}{x} \right) = e^\left(\frac{\ln x}{x} \right)\frac{1-\ln x}{x^2} = x^{\left(\frac 1x-2\right)}(1-\ln x) \end{eqnarray*}$

21.04.2021, 11:19

Leopold

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Was sich die Leute so immer ausdenken. Setzen wir die Existenz eines Hochpunkts voraus. Ich bekomme aus

$\begin{align*} y = x^{x^{-y}} \end{align*}$

durch zweimaliges Logarithmieren

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \ln \left( \ln y \right) = \ln \left( \ln x \right) - y \ln x \end{align*}$

und daraus durch implizites Differenzieren nach $\begin{align*} x \end{align*}$ :

$\begin{align*} \frac{y'}{y \ln y} = \frac{1}{x \ln x} - \frac{y}{x} - y' \ln x \end{align*}$

Es seien von jetzt ab $\begin{align*} x,y \end{align*}$ die Koordinaten des Hochpunktes. Indem man in der letzten Gleichung $\begin{align*} y'=0 \end{align*}$ einsetzt, erhält man

$\begin{align*} \text{(**)} \ \ y = \frac{1}{\ln x} \end{align*}$

als Zusammenhang zwischen diesen Koordinaten. Damit geht man in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ und bekommt

$\begin{align*} \ln \left( - \ln \left( \ln x \right) \right) = \ln \left( \ln x \right) - 1 \end{align*}$

oder äquivalent dazu

$\begin{align*} \operatorname{e} \cdot \ln \left( \ln x \right) + \ln x = 0 \end{align*}$

als Bestimmungsgleichung für die Maximalstelle $\begin{align*} x \end{align*}$ . Nennen wir die linke Seite dieser Gleichung $\begin{align*} g(x) \end{align*}$ und wenden wir das Newton-Verfahren darauf an. Die Funktion für die Iteration ist

$\begin{align*} \varphi(x) = x - \frac{g(x)}{g'(x)} \end{align*}$

$\begin{align*} \varphi(x) = x \cdot \left( 1 - \frac{\left( \, \operatorname{e} \cdot \ln \left( \ln x \right) + \ln(x) \, \right) \cdot \ln x}{\operatorname{e} + \ln x} \right) \end{align*}$

Mit dem Startwert $\begin{align*} x_0 = 2 \end{align*}$ und

$\begin{align*} x_{n+1} = \varphi(x_n) \, , \ n \geq 0 \end{align*}$

bekommt mein CAS die folgenden Werte heraus:

$\begin{align*} x_1 \approx 2{,}12318556817481 \end{align*}$

$\begin{align*} x_2 \approx 2{,}13171889198796 \end{align*}$

$\begin{align*} x_3 \approx 2{,}13175398113657 \end{align*}$

$\begin{align*} x_4 \approx 2{,}13175398172381 \end{align*}$

$\begin{align*} x_5 \approx 2{,}13175398172381 \end{align*}$

Die Maximalstelle befindet sich daher bei $\begin{align*} \xi = 2{,}13175398 \ldots \end{align*}$ . Den y-Wert des Hochpunkts kann man mit $\begin{align*} \text{(**)} \end{align*}$ bestimmen.

21.04.2021, 13:00

Justice

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Zitat:

Original von Leopold
Was sich die Leute so immer ausdenken.

Grundlagenforschung nenn ich das ;D

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} y = x^{x^{-y}} \end{align*}$

Wie kommst von meinem alternierend Exponetenturm zu dieser gleichung?

Zitat:

Original von Leopold
Die Maximalstelle befindet sich daher bei $\begin{align*} \xi = 2{,}13175398 \ldots \end{align*}$ . Den y-Wert des Hochpunkts kann man mit $\begin{align*} \text{(**)} \end{align*}$ bestimmen.

Woher wissen wir jetzt, dass diese Zahl keine spezielle Konstante ist? immerhin folgt aus:

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ das y-Maximum für x als Konstante e

Und aus historischer Sicht der Mathematik als erstes konnte man nur 2 + 2 + 2
Dann definierte man das ist 3 * 2
Bei 2 * 2 * 2 sprach man dann von $\begin{eqnarray*} 2^{3} \end{eqnarray*}$
Und weiter gings mit den Türmen Hammer

$\begin{eqnarray*} 2^{2^{2^{2}}} \end{eqnarray*}$

21.04.2021, 13:32

Leopold

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Zitat:

Original von Justice
Woher wissen wir jetzt, dass diese Zahl keine spezielle Konstante ist?

Jede reelle Zahl ist eine spezielle Konstante im Reich der reellen Zahlen. Ich vermute, du meinst, daß man diese Zahl irgendwie als Term mit Hilfe klassischer Konstanten ausdrücken kannst. Wenn du mehr weißt, dann sag es uns.

In der Bestimmungsgleichung für $\begin{align*} x \end{align*}$ könnte man $\begin{align*} t = \ln x \end{align*}$ substituieren und hätte dann die etwas einfachere Gleichung

$\begin{align*} t + \operatorname{e} \cdot \ln t = 0 \end{align*}$

zu lösen. Zum Beispiel wieder mit dem Newton-Verfahren. Oder als Fixpunktgleichung:

$\begin{align*} t = \operatorname{e}^{- \frac{t}{\operatorname{e}}} \end{align*}$

mit der Fixpunktfunktion

$\begin{align*} \psi(t) = \operatorname{e}^{- \frac{t}{\operatorname{e}}} \end{align*}$

und deutlich langsamerer Konvergenz.

21.04.2021, 15:55

Steffen Bühler

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Ich hab mich zwar einige Zeit mit Potenztürmen befasst, aber einen solchen alternierenden kenne ich noch nicht. Auch glaube ich nicht, dass der Hochpunkt algebraisch berechnet werden kann. Wie auch immer, so etwas könntest Du bestimmt gut im Tetration Forum diskutieren, da scheint es Experten zu geben, die den ganzen Tag nichts anderes tun.

Viele Grüße
Steffen

21.04.2021, 19:08

Leopold

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Wer mag, kann es auch mit höher transzendenten Funktionen versuchen. Mit der Lambert-W-Funktion kann man weiterrechnen:

$\begin{align*} t = \operatorname{e}^{- \frac{t}{\operatorname{e}}} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{t}{\operatorname{e}} \cdot \operatorname{e}^{\frac{t}{\operatorname{e}}} = \operatorname{e}^{-1} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{t}{\operatorname{e}} = W \left( \operatorname{e}^{-1} \right) \end{align*}$

Und die Rücksubstitution $\begin{align*} t = \ln x \end{align*}$ und Auflösung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} x = \operatorname{e}^{\operatorname{e} \cdot W \left( \operatorname{e}^{-1} \right)} \end{align*}$

als Wert für die Maximalstelle.

Hier die Berechnung mit Wolframalpha.

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