Zahlen ordnen

21.04.2021, 09:10

Thomas007

Zahlen ordnen

Hallo miteinander

Ich sollte bestimmen, welche der Zahlen $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{9000} \end{eqnarray*}$ grösser ist. Ich weiss, dass ich mit dem 10er-Logarithmus die Anzahl Ziffern einer Zahl bestimmen kann. Allerdings streikt bei diesen grossen Zahlen mein Rechner... (domain overflow).
Wie kann ich dennoch sagen, welche der beiden Zahlen grösser ist?

Danke für allfällige Tipps. smile

21.04.2021, 09:36

Algebravo

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Schau dir die beiden Zahlen einmal genau an und überleg was da rechnerisch passiert, wenn du potenzierst. Das ist, gerade bei den beiden Zahlen, total offensichtlich. ^^

21.04.2021, 09:44

Ulrich Ruhnau

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RE: Zahlen ordnen

Zitat:

Original von Thomas007
Ich sollte bestimmen, welche der Zahlen $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{9000} \end{eqnarray*}$ grösser ist.

Um Deinen Taschenrechner nicht zu überfordern, empfehle ich die folgende Rechenregel:

$\begin{eqnarray*} \ln a^b=b\ln a\quad \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \quad a\ge 0 \end{eqnarray*}$

Dabei nutzt man für $\begin{eqnarray*} a,c>0 \end{eqnarray*}$ einfach aus: $\begin{eqnarray*} a > c \Rightarrow \ln a>\ln c \end{eqnarray*}$ .

Alternativ kann man aber auch $\begin{eqnarray*} a > c \Rightarrow a^b>c^b \end{eqnarray*}$ benutzen, z.B. für $\begin{eqnarray*} 2^{8000}=\left(2^8\right)^{1000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{9000}=\left(3^9\right)^{1000} \end{eqnarray*}$ .

21.04.2021, 11:43

Dopap

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RE: Zahlen ordnen

Zitat:

Original von Thomas007
Ich sollte bestimmen, welche der Zahlen $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{9000} \end{eqnarray*}$ grösser ist.

da Basis und Exponent jeweils größer sind (siehe algebravo) ist das eher eine Quizfrage Augenzwinkern

bei $\begin{eqnarray*} \quad 2^{9000} \,\, \stackrel{?}{<}\,\,3^{8000} \quad \end{eqnarray*}$

kann man schon ein wenig grübeln oder den TR bemühen.

21.04.2021, 12:06

Leopold

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Mein Taschenrechner sagt bei beiden "Error Overflow". Daraus schließe ich, daß beide Zahlen unendlich sind. Also sind sie gleich. Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
verwirrt

21.04.2021, 12:18

Thomas007

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Sorry, ich habe mich verguckt.
Ganz so einfache Zahlen sind es dann doch nicht...
Es sind dies korrekterweise: $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{1261} \end{eqnarray*}$

21.04.2021, 12:22

Leopold

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Dann mach es, wie Ulrich Ruhnau es vorgeschlagen hat. Verwende die Monotonie des Logarithmus und das dritte Logarithmusgesetz.

21.04.2021, 13:13

klauss

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Zitat:

Original von Thomas007
Es sind dies korrekterweise: $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{1261} \end{eqnarray*}$

Sollen die Exponenten sich nun tatsächlich so stark unterscheiden?
Wenn man ohne Logarithmus auskommen will, sollte die Abschätzung $\begin{eqnarray*} 3^{1261}<\left(2^{2} \right)^{1261} \end{eqnarray*}$ genügen.

Oder für

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} \quad 2^{9000} \,\, \stackrel{?}{<}\,\,3^{8000} \quad \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{8000}>\left(2\sqrt{2} \right)^{8000} \end{eqnarray*}$

21.04.2021, 13:52

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Thomas007
Sorry, ich habe mich verguckt.
Ganz so einfache Zahlen sind es dann doch nicht...
Es sind dies korrekterweise: $\begin{eqnarray*} 2^{8000} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{1261} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln 2^{8000}=8000\ln 2 = 8000\cdot 0{,}6931471806=5545{,}177445 \end{eqnarray*}$ überfordert den Taschenrechner keineswegs.

22.04.2021, 12:01

Dopap

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Zitat:

Original von Leopold
Mein Taschenrechner sagt bei beiden "Error Overflow". Daraus schließe ich, daß beide Zahlen unendlich sind. Also sind sie gleich. Oder habe ich da etwas falsch verstanden?
verwirrt

mmh.. mein TR meldet bei beiden Zahlen in Dezimalschreibweise keine Fehler.

bei $\begin{eqnarray*} 2.00^{8000.00} \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} 3.00^{8000.00} \end{eqnarray*}$ aber schon. verwirrt

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