Determinante berechnen

21.04.2021, 17:07	yodabosten1	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen Meine Frage: Berechne die Determinante der folgenden Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m+3 & -1 & 1 \\ 5 & m-3 & 1 \\ 6 & -6 & m+4 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider finde ich keinen richtigen Ansatz. Was ich machen könnte, wäre L3 <- L3-L2. Aber ich glaube nicht, dass mich das weiter bringt. Vielen Dank!
21.04.2021, 17:17	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante berechnen Warum nicht einfach hinschreiben und vereinfachen? Die Formel steht z.B. hier. Viele Grüße Steffen
21.04.2021, 17:20	yodabosten1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante berechnen Hallo Steffen, danke. Dies ist nicht das Ziel der Aufgabe. Wir sollen hier mit der Faktorisation und den Eigenschaften der Determinanten arbeiten.
21.04.2021, 19:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante der Matrix ist ein normiertes Polynom vom Grad 3 in $\begin{align} m \end{align}$ , wie man an der Hauptdiagonalen erkennen kann. 1. Für $\begin{align} m=-2 \end{align}$ sind die ersten beiden Spalten Negative voneinander, so daß die Determinante verschwindet. 2. Für $\begin{align} m=2 \end{align}$ sind die zweite und dritte Spalte Negative voneinander. Wieder verschwindet die Determinante. (Man kann auch die ersten beiden Zeilen dafür nehmen.) Jetzt ist klar, daß das Polynom den Faktor $\begin{align} (m+2)(m-2) = m^2 - 4 \end{align}$ abspaltet. Es muß daher noch eine dritte rationale Nullstelle $\begin{align} a \end{align}$ geben: $\begin{align} \begin{vmatrix} m+3 & -1 & 1 \\ 5 & m-3 & 1 \\ 6 & -6 & m+4 \end{vmatrix} = (m-2)(m+2)(m-a) \end{align}$ Man könnte jetzt ein beliebiges $\begin{align} m \neq \pm 2 \end{align}$ in diese Gleichung einsetzen und damit $\begin{align} a \end{align}$ ermitteln. Dann muß man eine Determinante mit konstanten Elementen berechnen, was aber anscheinend vermieden werden soll. Wie man jetzt geschickt weitermacht, ohne die Determinante anderswie zu berechnen und im Ergebnis zu spicken, sehe ich auf die Schnelle auch nicht. (Übrigens ist $\begin{align} a = -4 \end{align}$ , und mit $\begin{align} m=-4 \end{align}$ ist die zweite Zeile die Summe der ersten und dritten Zeile.)
21.04.2021, 20:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Spur der Matrix ist die Summe der Eigenwerte.
21.04.2021, 21:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das so? $\begin{align} \begin{vmatrix} m+3 & -1 & 1 \\ 5 & m-3 & 1 \\ 6 & -6 & m+4 \end{vmatrix} = (m-2)(m+2)(m-a) \end{align}$ Jetzt zieht man aus jeder Spalte den Faktor -1 heraus: $\begin{align} - \begin{vmatrix} -3-m & 1 & -1 \\ -5 & 3-m & -1 \\ -6 & 6 & -4-m \end{vmatrix} = (m-2)(m+2)(m-a) \end{align}$ Die Nullstellen des Polynoms sind folglich die Eigenwerte der Matrix $\begin{align} A = \begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ -5 & 3 & -1 \\ -6 & 6 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$ Eigenwerte: $\begin{align} 2,-2,a \end{align}$ $\begin{align} \text{Spur der Matrix} \ A = \text{Summe der Eigenwerte von} \ A \end{align}$ Ja, so geht es. Jetzt ist nur noch die Frage, ob yodabosten1 diese Eigenschaften verwenden darf.
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22.04.2021, 20:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so hatte ich mir das gedacht, denn gesucht ist $\begin{eqnarray} det(mI-A) \end{eqnarray}$ mit dem von dir angegebenen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Im Bereich Schulmathematik wird das vermutlicht nicht zur Verfügung stehen. Die Aufgabe ist ohnehin vage formuliert

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