Lineare Abbildung mit Skalarprodukt und Norm

22.04.2021, 14:51	RidO	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung mit Skalarprodukt und Norm Meine Frage: Liebe Community, ich besuche aktuell die LinA 2 und stehe vor einer Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} s_w:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, v \mapsto v-2\cdot \frac{<v,w>}{\|\|w\|\|^2} \cdot w \end{eqnarray}$ eine Abbildung für $\begin{eqnarray} w \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . b) zz: $\begin{eqnarray} s_w^2 = s_w \circ s_w = id_{\mathbb{R}^2} \end{eqnarray}$ c) zz: $\begin{eqnarray} det\left ( s_w \right ) = -1 \end{eqnarray}$ Ich habe bereits gezeigt, dass $\begin{eqnarray} s_w \end{eqnarray}$ eine Körper lineare Abbildung ist und das $\begin{eqnarray} s_w = s_{-w} \end{eqnarray}$ gilt. Allerdings komme ich nun nicht weiter. Meine Ideen: Bei b) liegt mein Problem bei der Multiplikation: $\begin{eqnarray} s_w ^2\left ( v \right ) = \left ( v-2\cdot \frac{<v,w>}{\|\|w\|\|^2} \cdot w\right )^2 \end{eqnarray}$ hierbei passiert es doch, dass ich zwei Vektoren multiplizieren muss, einmal vv und einmal ww, dies ist doch aber nicht definiert. Bei c) bin ich ratlos, evtl. kann ich die Eigenschaft $\begin{eqnarray} s_w = s_{-w} \end{eqnarray}$ nutzen, jedoch weiß ich nicht wie. Wäre für jede Hilfe dankbar. Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
22.04.2021, 16:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung mit Skalarprodukt und Norm zu b) das ist keine Multiplkation sondern die (zweifache) Hintereinanderausführung von $\begin{eqnarray} s_w \end{eqnarray}$ . Zu berechnen ist also $\begin{eqnarray} s_w(s_w(v)) \end{eqnarray}$ zu c) Wie ist denn $\begin{eqnarray} det(s_w) \end{eqnarray}$ definiert?
22.04.2021, 16:10	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung mit Skalarprodukt und Norm $\begin{eqnarray} s_w^2(v) = (s_w \circ s_w)(v)=s_w(s_w(v)) \end{eqnarray}$ So ist das gemeint. Nun einfach die Definition von $\begin{eqnarray} s_w(v) \end{eqnarray}$ benutzen und ausrechnen. Schreibt man $\begin{eqnarray} s_w(v)=M_w \cdot v \end{eqnarray}$ mit einer Matrix $\begin{eqnarray} M_w \end{eqnarray}$ , kann man die Matrix mit der Definition von $\begin{eqnarray} s_w(v) \end{eqnarray}$ hinschreiben und ihre Determinante ausrechnen.
22.04.2021, 17:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Haben dir die Aufgabensteller verschwiegen, daß es sich bei $\begin{align} s_w \end{align}$ um eine Spiegelung handelt, und zwar an der Ursprungsgeraden $\begin{align} g \end{align}$ , die $\begin{align} w \end{align}$ als Normalenvektor besitzt? [attach]53005[/attach] Identifiziere Punkte mit ihren Ortsvektoren. $\begin{align} v' \end{align}$ sei der Spiegelpunkt von $\begin{align} v \end{align}$ bei Spiegelung an $\begin{align} g \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} v' \end{align}$ durch die beiden folgenden Bedingungen gekennzeichnet: 1. Der Vektor, der von $\begin{align} v \end{align}$ nach $\begin{align} v' \end{align}$ zeigt, also $\begin{align} v'-v \end{align}$ , und $\begin{align} w \end{align}$ sind linear abhängig. Wegen $\begin{align} w \neq 0 \end{align}$ gibt es daher einen Skalar $\begin{align} \lambda \end{align}$ mit $\begin{align} v'-v = \lambda w \end{align}$ , das heißt $\begin{align} \text{(1)} \ \ v' = v + \lambda w \end{align}$ (In der Schule kennst du das als Parameterdarstellung einer Geraden.) 2. Der Mittelpunkt von $\begin{align} v \end{align}$ und $\begin{align} v' \end{align}$ , also $\begin{align} m = \frac{1}{2} \left( v + v' \right) \end{align}$ , liegt auf $\begin{align} g \end{align}$ . Das ist gleichbedeutend damit, daß $\begin{align} m \end{align}$ und $\begin{align} w \end{align}$ senkrecht aufeinander stehen: $\begin{align} \text{(2)} \ \ \langle m,w \rangle = 0 \end{align}$ (In der Schule kennst du das als Normalform einer Geraden, hier einer Ursprungsgeraden. Oder vielleicht nur dreidimensional: Normalform einer Ebene.) Jetzt setzt man $\begin{align} v' \end{align}$ aus $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ in $\begin{align} \text{(2)} \end{align}$ ein und kann damit den Skalar $\begin{align} \lambda \end{align}$ bestimmen: $\begin{align} \langle m,w \rangle = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left \langle \frac{1}{2} \left( v+v' \right) , w \right \rangle = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left \langle \frac{1}{2} \left( 2v + \lambda w \right),w \right \rangle = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \langle v,w \rangle + \frac{1}{2} \lambda \left\\| w \right\\|^2 = 0 \end{align}$ Man erhält $\begin{align} \lambda = -2 \frac{\langle v,w \rangle}{\left\\| w \right\\|^2} \end{align}$ Dieses $\begin{align} \lambda \end{align}$ führt, in $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ eingesetzt, auf die Abbildungsgleichung $\begin{align} v \mapsto v' = s_w(v) = v - 2 \frac{\langle v,w \rangle}{\left\\| w \right\\|^2} w \end{align}$ Tips zu deinen Rechnungen: Tip 1: Verwende $\begin{align} \lambda \end{align}$ , wie hier hergeleitet, als Abkürzung für den komplizierten Ausdruck. Dann läuft $\begin{align} s_w \left( s_w(v) \right) \end{align}$ auf $\begin{align} v - 2 \lambda w - 2 \lambda w + 4 \lambda w \end{align}$ hinaus, wenn du dich geschickt anstellt. Sonst kann das sehr unübersichtlich werden. Tip 2: In der Linearen Algebra lernt man, daß die Determinante einer Abbildung nicht von der Basis abhängt, bezüglich der man die Abbildung durch eine Matrix beschreibt. Wenn du die Basis $\begin{align} m,w \end{align}$ nimmst, ist die Darstellungsmatrix von $\begin{align} s_w \end{align}$ sehr einfach, und du kannst die Determinante fast ohne Rechnung ablesen. Du kannst natürlich auch mit der kanonischen Basis des $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ arbeiten. Und es schadet vielleicht auch nichts, beide Wege zu gehen, um "ein Gefühl für die Sache zu bekommen."
23.04.2021, 14:12	Rid0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, vielen Dank für die Hilfe. Ich habe es mir jetzt lange angeschaut und rumprobiert und bin auf die Lösungen gekommen. Die Determinate war dann doch etwas einfacher, allerdings hatten wir noch nicht die darstellende Matrix eine lin. Abb. mit Skalarprodukt und Norm, weshalb ich etwas verloren war. Bei der c) habe ich lange rumprobiert und schließlich ist es mir mit der etwas abgewandelten Substitution $\begin{eqnarray} \lambda := \frac{<v,w>}{\|\|w\|^2} \end{eqnarray}$ gelungen. Vielen Dank für die zahlreiche Hilfe und vorallem für die Anschauung von dir Leopold!
23.04.2021, 23:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich auf eine geeignete Basis bezieht, muß man fast nichts mehr rechnen. Nachdem wir wissen, daß es sich bei $\begin{align} s_w \end{align}$ um eine Geradenspiegelung handelt, liegt es nahe, $\begin{align} w \end{align}$ durch $\begin{align} m \end{align}$ mit $\begin{align} \langle w,m \rangle = 0 \end{align}$ zu einer Basis zu ergänzen. Durch Einsetzen in die Abbildungsvorschrift erhält man sofort $\begin{align} s_w(w) = -w \, , \ \ s_w(m) = m \end{align}$ Die Darstellungsmatrix von $\begin{align} s_w \end{align}$ bezüglich der Basis $\begin{align} w,m \end{align}$ ist daher $\begin{align} A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$ Und die Determinante dieser Matrix und somit von $\begin{align} s_w \end{align}$ ist folglich -1. Weiter gilt: $\begin{align} s_w \left( s_w(w) \right) = s_w(-w) = - s_w(w) = -(-w) = w \end{align}$ $\begin{align} s_w \left( s_w(m) \right) = s_w(m) = m \end{align}$ Also ist $\begin{align} {s_w}^2 = \operatorname{id}_{\mathbb{R}^2} \end{align}$ , was man natürlich ebensogut durch die Berechnung von $\begin{align} A^2 \end{align}$ hätte erledigen können.
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