Zerfallsprozess

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Zerfallsprozess
Bin völlig verzweifelt. Will Erwartungswert vom Zerfallsprozess berechnen, über Dgl. aus der Mastergleichung. Also der mit exponentialverteilter Verweildauer, wie radioaktiver Zerfall.

Das ist der Markov-Prozess mit Übergangswahrscheinlichkeiten





mit

Also



Die Mastergleichung ist



Hab jetzt ausgerechnet



Zum Erwartungswert gilt ja



Mein Problem: Kann die Mastergleichung nicht einsetzen, weil da steht, was für nicht definiert ist.

Edit: Hatte ein Vorzeichen verschludert.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist es nun klar geworden, denke ich.

Zunächst einmal hab ich übersehen, dass die Mastergleichung bei Wikipedia bezüglich transponierter Matrix von angegeben ist. Die tatsächliche Mastergleichung ist demnach



Das macht



So, ich hab da mal recherchiert. Die Lösung ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung, genauer



Der Dgl. genügt diese Funktion tatsächlich. Ein Rettungsring. Das ist der Anfangswert des Prozesses, also .

Mir ist nun eingefallen dass man fortsetzen kann für außerhalb des Definitionsbereichs, so wie man das auch bei Dichten tut. Meine Rechnung ist somit







Das Resultat ist die gewünschte Gleichung



mit Anfangswert .

Wir kommen zur Lösung .
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