Konvergenzgeschwindigkeiten

23.04.2021, 11:27

TheWind5urfer

Konvergenzgeschwindigkeiten

Hallo an alle,

ich mache derzeit in meinem Master das Seminar Angewandte Mathematik. Dabei habe ich folgende Aufgabe zu erfüllen:

Geg.: Folge $\begin{eqnarray*} x_{k} = (\frac{1}{3k})^{k} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie, dass die Folge superlinear, aber nicht quadratisch konvergiert.

Nun wollte ich zuerst zeigen, dass die Folge superlinear konvergiert. Dafür ist zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{|x_{k+1}-x_{*} |}{|x_{k}-x_{*} |} = 0 \end{eqnarray*}$ für k gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_{*}=0 \end{eqnarray*}$ , da die Folge dagegen konvergiert.

Es fällt mir schwer, diese Aufgabe zu lösen, da ich nicht weiß, wie ich die Gleichung so umbauen kann, dass ich mit k gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gut eine Annäherung an die 0 darstellen kann.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Die quadratische Konvergenz danach denke ich, kriege ich alleine hin, sobald ich die superlineare bewiesen habe, da sich die Beweise da ja ähneln.

Beste Grüße

23.04.2021, 12:07

willyengland

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$\begin{eqnarray*} \frac{(3k)^k}{(3k+3)^k (3k+3)} \end{eqnarray*}$

Könnte man evtl. die vorderen beiden Terme wegkürzen (für k gegen ue), so dass dann nur noch 1/(3k+3) übrig bleibt, was gegen Null geht?

23.04.2021, 13:28

Huggy

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Von der Idee her richtig. Formal korrekt ist

$\begin{eqnarray*} \frac {x_{k+1}}{x_k}=\frac 1 3 \left ( \frac {k}{k+1} \right )^k \frac 1 {k+1}< \frac 1 3 \frac 1 {k+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann man die Grenzwertbetrachtung machen.

23.04.2021, 17:29

Luftikus

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RE: Konvergenzgeschwindigkeiten

Zitat:

Original von TheWind5urfer

Nun wollte ich zuerst zeigen, dass die Folge superlinear konvergiert. Dafür ist zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} \frac{|x_{k+1}-x_{*} |}{|x_{k}-x_{*} |} = 0 \end{eqnarray*}$ für k gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_{*}=0 \end{eqnarray*}$ , da die Folge dagegen konvergiert.

Genauer muss du zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{|x_{k+1}|}{|x_{k}|} \le a_k \;{mit \; a_k \to 0 \; existiert} \end{eqnarray*}$

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