Differentialoperator: Symbol oder Ausdruck?

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Binary91 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich habe eine stupide Verständnisfrage zum Thema Differentialoperator: Ist der Differentialoperator d/dx ein "Sympol" oder tatsächlich ein mathematischer Ausdruck? In der Vorlesung kommt es so rüber, als sei es lediglich ein Symbol zur Bezeichnung des Ableitens nach x. In der Vorlesung wird auch nicht das lateinische "d" benutzt, sondern das griechische "delta", was die Symbolik noch unterstreicht.

Beim Thema "Totales Differential" fällt mir aber eben auf, dass sich durch simples Dividieren durch "dx" ja eben folgende Gleichung ergibt:
code:
1:
dy=f´(x) --> dy/dx=f´(x)


Was ja exakt zutreffen würde. Daher frage ich mich, ob der Differentialoperator ein mathematischer Ausdruck ist, mit dem man auch rechnen kann. Wenn ich "Differentialoperator" google, dann erscheint folgende Begriffserklärung:
"Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion, die einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält."
Diese Formulierung hingegen spräche ja eher wieder für den symbolischen Charakter und nicht für einen mathematischen Ausdruck in Form eines Bruches...

Vielen Dank bereits vorab für eure Rückmeldung!

LG Binary91

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Binary91
Ist der Differentialoperator d/dx ein "Sympol" oder tatsächlich ein mathematischer Ausdruck?

Welchen Unterschied machst du da? In der heutigen Mathematik wird alles durch Symbole ausgedrückt.

In der elementaren Analysis sind die Differentiale keine eigenständigen Größen. Allerdings kann man sich die Kettenregel und die Substitutionsregel am einfachsten so merken, dass man hier formal so tun kann, als seien die Differentiale eigenständige Objekte, die bezüglich des Kürzens und Erweiterns von Brüchen den Regeln für Zahlen folgen.

In der fortgeschrittenen Analysis werden Differentiale als eigenständige Größen definiert, für die es aus ihrer Definition dann bestimmte "Rechenregeln" gibt. Diese Rechenregeln unterscheiden sich aber teilweise von den Regeln für Zahlen.

Differential

Zitat:
In der Vorlesung kommt es so rüber, als sei es lediglich ein Symbol zur Bezeichnung des Ableitens nach x. In der Vorlesung wird auch nicht das lateinische "d" benutzt, sondern das griechische "delta"[/color]

Das ist etwas seltsam. Zwar kann jeder seine eigene Symbolik benutzen, aber für das Differential bei Ableitung und Integration und bei der partiellen Ableitung sind doch Standard. wird üblicherweise für endliche Differenzen benutzt.
Binary91 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy,

vielen Dank für Deine Rückmeldung! Ich glaube, das war der springende Punkt! "dx" ist das Differential und "delta"x ist eine Bezeichnung bei partiellen Ableitungen, richtig?

Das hieße, dass der Nenner "delta x" der Bezeichnung einer partiellen Ableitung gar kein Differential in diesem Sinne ist und daher auch nicht mit diesem als "Bruch" gerechnet werden kann?

Ich frage deshalb, da wir auch das Thema Differentialgleichungen angerissen haben und beim Lösen homogener GDGL 1. Ordnung gibt es ja das Verfahren der Trennung der Variablen. Hier wurde demonstriert, wie durch Einsetzen des Differentialoperators (dy/dx) die Gleichung umgestellt werden kann, sodass nachher die gesuchte Funktion berechnet werden kann. In diesem Fall wird eben der Differentialoperator als gewöhnlicher mathematischer Ausdruck, ergo als Bruch dy/dx behandelt, wodurch dx durch Multiplikation auf die andere Seite der Gleichung gebracht wird...

Daher dachte ich, dass dies auch für das Totale Differential gilt und man folgern kann, dass sich das Totale Differential aus der Gleichung:
f`(x)=dy/dx

durch Multiplikation mit dx ergibt...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Binary91
Ich glaube, das war der springende Punkt! "dx" ist das Differential und "delta"x ist eine Bezeichnung bei partiellen Ableitungen, richtig?

Nicht so ganz. Wie ich schon sagte, wird "delta" x = üblicherweise für endliche Differenzen benutzt. Für die partielle Ableitung wird benutzt. Falls du mit "delta" x aber meinst, so wird das in den Ingenieurwissenschaften und manchmal auch in der Physik sowohl für die normale wie auch für die partielle Ableitung benutzt.
Binary91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ok. Vielen Dank dennoch für die Hilfe!
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