Kreisspiegelung von einer Geraden

24.04.2021, 11:23	geo22	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisspiegelung von einer Geraden Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich momentan mit Kreisspiegelungen. Bei der Kreisspiegelung einer Polare wird die Polare bekanntlich auf einen Kreis durch M abgebildelt. Sei X der Pol der Polare und X' der Bildpunkt des Pols. Ich möchte nun zeigen, dass der Mittelpunkt des entstehenden Kreis durch 1/2 (X+M) bestimmt ist. Leider komme ich nicht darauf, wie ich dies zeigen kann. Meine Ideen: Ich weiss, dass die Kreisspiegelung am Einheitskreis der Polare die Kreisgleichung $\begin{eqnarray} \phi_\mathcal{I}(\mathbf{P}_X) = \mathcal{K}\left(\frac{1}{2}X, \frac{1}{2} \\|X\\|\right) \cup \{M\} \end{eqnarray}$ besitzt.
24.04.2021, 11:25	geo22	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreisspiegelung von einer Gerade Ich meine natürlich $\begin{eqnarray} \phi_\mathcal{I}(\mathbf{P}_X) = \mathcal{K}\left(\frac{1}{2}X, \frac{1}{2} \\|X\\|\right) \setminus \{M\} \end{eqnarray}$
24.04.2021, 14:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier geht es um die bekannte Konstruktion, von einem Punkt $\begin{align} P \end{align}$ außerhalb eines Kreises $\begin{align} k \end{align}$ die Tangenten an den Kreis zu konstruieren. [attach]53009[/attach] Am Kreis $\begin{align} k \end{align}$ um $\begin{align} M \end{align}$ werde gespiegelt. Die Gerade $\begin{align} g \end{align}$ schneide $\begin{align} k \end{align}$ in den Punkten $\begin{align} A \end{align}$ und $\begin{align} B \end{align}$ . Der unendliche ferne Punkt $\begin{align} \infty \end{align}$ fällt bei der Spiegelung auf $\begin{align} M \end{align}$ , die Punkte $\begin{align} A \end{align}$ und $\begin{align} B \end{align}$ sind Fixpunkte. Damit ist der Kreis $\begin{align} l \end{align}$ durch die Punkte $\begin{align} A,B,M \end{align}$ das Bild von $\begin{align} g \end{align}$ bei der Kreisspiegelung. Auf dem Kreis $\begin{align} l \end{align}$ werde der Punkt $\begin{align} P \end{align}$ als Antipode von $\begin{align} M \end{align}$ definiert. Der Mittelpunkt $\begin{align} N \end{align}$ der Strecke $\begin{align} MP \end{align}$ ist der Mittelpunkt von $\begin{align} l \end{align}$ . Nun zeichnet man die Geraden $\begin{align} PA \end{align}$ und $\begin{align} PB \end{align}$ . Die Dreiecke $\begin{align} MPA \end{align}$ und $\begin{align} MPB \end{align}$ sind nach dem Satz des Thales bei $\begin{align} A \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} B \end{align}$ rechtwinklig. Also ist $\begin{align} P \end{align}$ der zu $\begin{align} g \end{align}$ gehörende Pol bezüglich $\begin{align} k \end{align}$ .
30.04.2021, 11:48	geo22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für deinen Beitrag. Leider kann ich immer noch nicht nachvollziehen, warum man davon ausgehen kann, dass die Strecke XM ein Durchmesser des Kreises ist. Im Prinzip könnte XM ja auch eine Sehne sein.
02.05.2021, 14:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Punkte A und B liegen symmetrisch zur Strecke PM. Nachdem der Kreis auch durch P und M gehen soll, ist PM aus Symmetriegründen ein Durchmesser. Andernfalls wären A, B nicht Symmetriepunkte zur Zentrale PM. mY+

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