Wahrscheinlichkeit zweite Kugel ist nicht blau

24.04.2021, 13:29

Kurvenks

Wahrscheinlichkeit zweite Kugel ist nicht blau

Hallo,

in einer Box befinden sich 10 rote, 30 weiße, 20 blaue und 15 orange Kugeln. Es werden hintereinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel nicht blau ist.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P(X_1 \cap \bar{B_2}) = P(X_1)P(\bar{B_2}|X_1) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ meine ich eine beliebige Kugel, dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{75}{75}P(\bar{B_2}|X_1) \end{eqnarray*}$ , wobei mir der letzte Term Schwierigkeiten bereitet, denn hier müsste ich ja berücksichtigen, ob ich vorher eine blaue gezogen habe oder nicht...

Für Hilfen bin ich dankbar!

24.04.2021, 13:43

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeit zweite Kugel ist nicht blau

Zitat:

hier müsste ich ja berücksichtigen, ob ich vorher eine blaue gezogen habe oder nicht...

Deswegen würde ich ansetzen:
$\begin{eqnarray*} P\left(X_{1} \cap \overline{B_{2} }\right) = P\left(B_{1} \cap \overline{B_{2} }\right) + P\left(\overline{B_{1} }\cap \overline{B_{2} }\right) \end{eqnarray*}$

24.04.2021, 13:47

G240421

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RE: Wahrscheinlichkeit zweite Kugel ist nicht blau
b = blau, nb= nicht blau

P=P(b,nb) +P(nb,nb) = .............

Zahlenwerte gelöscht, auf die soll Kurvenks selbst kommen.
Im übrigen steht die Gleichung bereits schöner drüber. Mit der Mengenschreibweise scheint der Fragesteller ja vertraut zu sein, weshalb man sich auch die Mühe machen darf, diese weiterzuführen.
klauss

24.04.2021, 14:02

Kurvenks

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Hi und danke für die Antworten! Also ich kann es mir nicht genau erklären (ich hatte bei der gleichen Formel vorher immer ein Ergebnis größer 1 raus, was nicht passen kann.), aber jetzt komme ich auf ein vernünftigeres Ergebnis:

P(b,Nb) + P(Nb, Nb) = 20/75 * 55/74 + 55/75 * 54/74 = 11/15

24.04.2021, 19:02

Leopold

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Manchmal ist es günstiger, nicht im Nacheinander der bedingten Wahrscheinlichkeiten zu denken, sondern den Blick auf den Gesamtvorgang zu richten.

Stellen wir uns $\begin{align*} N \end{align*}$ Kugeln vor, mit $\begin{align*} 1,2,\ldots,N \end{align*}$ nummeriert, von Nummer $\begin{align*} 1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} S \end{align*}$ seien die Kugeln schwarz, von Nummer $\begin{align*} S+1 \end{align*}$ bis $\begin{align*} N \end{align*}$ weiß. Wir ziehen $\begin{align*} N \end{align*}$ -mal ohne zurückzulegen. Jede Ziehung kann als Permutation der $\begin{align*} N \end{align*}$ Zahlen aufgefaßt werden. Von diesen Permutationen gibt es $\begin{align*} N! \end{align*}$ Stück, die alle gleichwahrscheinlich sind. Jetzt betrachten wir das Ereignis

$\begin{align*} A_i = \text{die} \ i \text{-te Kugel ist schwarz} \, , \ \ 1 \leq i \leq n \end{align*}$

Die Permutationen, die zu $\begin{align*} A_i \end{align*}$ gehören, haben an der $\begin{align*} i \end{align*}$ -ten Stelle eine der Kugeln von Nummer $\begin{align*} 1 \end{align*}$ bis Nummer $\begin{align*} S \end{align*}$ . Dafür gibt es $\begin{align*} S \end{align*}$ Möglichkeiten. Die restlichen $\begin{align*} N-1 \end{align*}$ Kugeln permutieren auf den übrigen Stellen. Dafür gibt es $\begin{align*} (N-1)! \end{align*}$ Möglichkeiten. Damit hat $\begin{align*} A_i \end{align*}$ die Mächtigkeit $\begin{align*} S \cdot (N-1)! \end{align*}$ . Die Wahrscheinlichkeit von $\begin{align*} A_i \end{align*}$ ist nach Laplace

$\begin{align*} P(A_i) = \frac{S \cdot (N-1)!}{N!} = \frac{S}{N} \end{align*}$

Und diese Wahrscheinlichkeit hängt nicht von $\begin{align*} i \end{align*}$ ab.

Man kann es auch so sagen: Die Zufallsgrößen

$\begin{align*} X_i = \begin{cases} 1, & \text{falls die} \ i \text{-te Kugel schwarz ist} \\ 0, & \text{falls die} \ i \text{-te Kugel weiß ist} \end{cases} \end{align*}$

sind, ob mit oder ohne Zurücklegen, identisch verteilt mit

$\begin{align*} P(X_i=1) = \frac{S}{N} \, , \ \ P(X_i=0) = \frac{N-S}{N} \end{align*}$

Nur sind die Zufallsgrößen beim Ziehen mit Zurücklegen unabhängig, beim Ziehen ohne Zurücklegen jedoch nicht. Das Ganze funktioniert auch, wenn man insgesamt weniger als $\begin{align*} N \end{align*}$ -mal zieht.

In Kurvenks Aufgabe ist $\begin{align*} S=55 \end{align*}$ (Anzahl der nicht-blauen Kugeln) und $\begin{align*} N=75 \end{align*}$ , also

$\begin{align*} P(X_2=1) = \frac{55}{75} = \frac{11}{15} \end{align*}$

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