Gewinnaufteilung

24.04.2021, 18:35

Bob111111

Gewinnaufteilung

Meine Frage:
Bei einem Spiel soll der Betrag von 273000 GE auf die ersten 7 Gewinner so aufgeteilt werden, dass der 1. Winner am meisten, nämlich 75000 GE, erhält und dass die Abstände der Preise für aufeinander folgende Gewinner gleich groß sind. Wieviel erhält der 2. Winner?

Meine Ideen:
Ich hatte eine lineare degressive Abschreibung vermutet, aber keiner meiner Rechenansätze führen leider weiter ...

24.04.2021, 19:12

G240421

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RE: Gewinnaufteilung
arithemetische Reihe!

24.04.2021, 20:31

Bob111111

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RE: Gewinnaufteilung
Wie soll diese am besten aufgestellt werden?

Ich verstehe nicht ganz, was nun der Wert von x1 ist (198000 oder 75000)? Ich komme für d auf 33.000, aber das kann ja wohl logischerweise nicht stimmen ...

24.04.2021, 21:01

Leopold

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Der 1. Gewinner bekommt $\begin{align*} 75000 \end{align*}$ Geldeinheiten, der 2. Gewinner $\begin{align*} 75000-d \end{align*}$ , der 3. Gewinner $\begin{align*} 75000-d-d \end{align*}$ , also $\begin{align*} 75000-2d \end{align*}$ . Und so geht das weiter bis zum siebten. Dabei ist $\begin{align*} d \end{align*}$ der Abstand der Preise. Und alles zusammen ergibt die Gesamtsumme:

$\begin{align*} 75000 + \left( 75000-d \right) + \left( 75000-2d \right) + \ldots = 273000 \end{align*}$

Eine Gleichung mit einer Unbekannten, das sollte machbar sein. Und wenn du $\begin{align*} d \end{align*}$ hast, kannst du die Einzelgewinne bestimmen.

24.04.2021, 21:06

Bob111111

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Vielen Dank! Jetzt hat es geklappt smile

24.04.2021, 23:15

klauss

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RE: Gewinnaufteilung
Eine Abwandlung:

Die Gleichabständigkeit soll nur zwischen aufeinanderfolgenden Gewinnern gelten, aber nicht zwischen dem 7. Platz ( $\begin{eqnarray*} x_{7} \end{eqnarray*}$ ) und 0 GE.
Daher kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} x_{7} +\left(x_{7}+d\right)+\left(x_{7}+2d\right)+...+\left(x_{7}+6d\right) =273000 \end{eqnarray*}$
bzw. zusammengefaßt
$\begin{eqnarray*} 7x_{7} +21d=273000 \end{eqnarray*}$
Außerdem wissen wir:
$\begin{eqnarray*} x_{7}+6d=75000 \end{eqnarray*}$
Auch mit diesem kleinen Gleichungssystem kann man arbeiten.

26.04.2021, 10:23

gast_free

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RE: Gewinnaufteilung

Zitat:

Original von Bob111111
Meine Frage:
Bei einem Spiel soll der Betrag von 273000 GE auf die ersten 7 Gewinner so aufgeteilt werden, dass der 1. Winner am meisten, nämlich 75000 GE, erhält und dass die Abstände der Preise für aufeinander folgende Gewinner gleich groß sind. Wieviel erhält der 2. Winner?

Meine Ideen:
Ich hatte eine lineare degressive Abschreibung vermutet, aber keiner meiner Rechenansätze führen leider weiter ...

$\begin{eqnarray*} G=273.000 GE \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G_1=75.000 GE \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} GA=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2=G_1-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G_3=G_2-x \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} G_{n}=G_{n-1}-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{i}=G_{i-1}-x \end{eqnarray*}$ :Rekursive Darstellung

$\begin{eqnarray*} G=G_1+G_2+G_3+...+G_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G=G_1+(G_1-x)+(G_2-x)+...+(G_{n-1}-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G=G_1+(G_1-x)+(G_1-2\cdot x)+...+(G_1-n\cdot x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_{i}=G_1\cdot i-(i-1)\cdot x \end{eqnarray*}$ :Funktionsgleichung mit einer Unbekannten
$\begin{eqnarray*} n>=i>0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n} G_i= n\cdot G_1-x\cdot \sum\limits_{i=1}^{n} (i-1) =n\cdot (G_1-1)-x\cdot \sum\limits_{i=1}^{n} i= G \end{eqnarray*}$ : Bestimmungsgleichung für die Unbekannte.

Hiermite lässt sich $\begin{eqnarray*} G_2=G_1-x \end{eqnarray*}$ leicht berechnen.

26.04.2021, 12:34

Leopold

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@ gast_free

Zitat:

Original von Bob111111
Vielen Dank! Jetzt hat es geklappt smile

Ich will nur darauf aufmerksam machen, daß die Sache längst erledigt ist. Nun spricht nichts dagegen, auch im Nachgang noch Beiträge abzusenden, wenn neue Gesichtspunkte, neue Vorgehensweisen oder interessante Ergänzungen angebracht werden. Ich kann aber nicht erkennen, daß deine Rechnung von meinem Vorschlag abweicht, außer daß sie den Rechenvorgang ohne Zahlenwerte beschreibt. Bob111111 hat seine Anfrage bei der Schulmathematik gestellt. Inwieweit er mit Summenzeichen und Ähnlichem vertraut ist, steht durchaus in Frage.

27.04.2021, 06:17

Ulrich Ruhnau

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RE: Gewinnaufteilung

Zitat:

Original von klauss
$\begin{eqnarray*} 7x_{7} +21d=273000 \end{eqnarray*}$
Außerdem wissen wir:
$\begin{eqnarray*} x_{7}+6d=75000 \end{eqnarray*}$
Auch mit diesem kleinen Gleichungssystem kann man arbeiten.

Mit Matlab geht das übrigens so:

>> m=[7 21;1 6];
>> b=[273000;75000];
>> x=m\b

x =

3000
12000

Was soviel heißen soll, daß der erste 75000 GE bekommt, der 2. 12000 GE weniger, also 63000 GE und der letzte nur noch 3000 GE.

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