Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes

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mrsgldn Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich würde gerne das Volumen eines Pyramidenstumpfes berechnen, bei dem die Kanten konkav abgerundet sind. Alternativ würde mir auch eine Formel für die Berechnung der gesamten Pyramide weiterhelfen. Die Geometrie sieht als aus wie das Dach eines pagodenförmigen Pavillons.
Im Netz finde ich leider nur Formeln für gerade Kanten.

Die Grundfläche mit L1 und L2, sowie der Höhe und dem Radius sind bekannt.

Ich hoffe hier kennt jemand eine geeignete Formel.

MfG


Meine Ideen:
Entweder Nutzung der Formel für den Stumpf oder die Geometrie etwas komplizierter zusammenbasteln und die Volumina der Einzelkörper addieren Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Schnitte parallel zur Grundfläche schneiden aus dem Körper Rechtecke aus. Ist die Höhe des Körpers und der Inhalt der Rechtecksfläche in der Höhe über dem Boden, so ist



das gesuchte Volumen. Jetzt hängt alles davon ab, welche Formel für gilt. Dazu müßtest du mehr darüber verraten, wie sich die Rechtecke nach oben hin verjüngen.

Du solltest diesen Körper nicht Pyramide nennen. Er ist keine solche. Und was du mit "Radius" meinst, erschließt sich mir nicht.
mrsgldn Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Danke für die schnelle Antwort.

Die Rechtecke verjüngen sich ähnlich wie bei einer Pyramide (daher Ausdruck, hätte sie vielleicht besser in Anführungszeichen setzen sollen), nur nicht linear sondern auf einer Kreisbahn mit einem festen Radius. Ich hoffe das Bild macht es jetzt deutlicher.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Offenbar ist . Dann sollte sich die Fläche mit steigender Höhe von auf verjüngen. Und eben nicht linear, sondern mit der Kreisbogenfunktion :



Viele Grüße
Steffen

EDIT: der obige Faktor ist nur bei einer quadratischen Grundfläche korrekt. Die Seite wird an beiden Enden um jeweils die Strecke kürzer, die andere entsprechend.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist jetzt etwas klarer. Ist der Kreisbogen in deiner Zeichnung ein voller Viertelkreis oder ist er kleiner als ein solcher? Ist dein R nur irgendwie eingezeichnet im Sinne eines Hinweispfeils oder beginnt der Pfeil tatsächlich im Mittelpunkt des Kreises?
mrsgldn Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Hallo Steffen,

auch dir danke für die Antwort. Ich fürchte jedoch, dass ich jetzt so langsam an das Ende meiner mathematischen Künste komme verwirrt

Wenn ich es richtig verstehe müsste das Volumen meines Körpers also wie folgt berechnet werden:

𝑉=∫&#119860traurig &#119909Augenzwinkern 𝑑𝑥

mit:

A(x)=2*(r-&#8730traurig r^2-x^2))*(L1-L2)

Ist das korrekt?

Danke im Voraus und viele Grüße
 
 
mrsgldn Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
OK... ich weiß nicht, was hier jetzt gerade passiert ist mit der Antwort...

Lautet A(x)=2*(r-sqrt(r^2-x^2))*(L1-L2) ?


Ja genau, Der Kreisbogen ist ein voller Viertelkreis mit R=H und der Pfeil ist nur als Hinweis eingezeichnet
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man leider nicht lesen. Bitte verwende den Formeleditor zum Schreiben von Formeln.
Könntest du noch meine Fragen beantworten?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Als Ergebnis für das Volumen habe ich



Hierbei sind und die Seitenlängen des Bodenrechtecks und die Höhe des Körpers. Für die Rechtecksfläche habe ich



Die Formel ist auf die Schnelle erstellt. Ich müßte sie noch überprüfen.
mrsgldn Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Super, vielen Dank damit kann ich das Volumen berechnen smile

Jetzt habe ich leider noch eine Mail bekommen, dass das Volumen des Körpers an verschiedenen Höhen bestimmt werden soll.
Sprich: der Körper bleibt der selbe allerdings soll das Volumen beispielsweise nur bis zur Höhe 1/3 h; 1/2 h; 5/6 h etc. berechnet werden. siehe Bild
Ich denke eine Formel zur Volumenbestimmung mit zwei unabhängigen Variablen "r" und "h" wäre hierfür ideal.

Es wäre klasse wenn Ihr mir hierbei noch einmal weiterhelfen könntet.
Danke im Voraus smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen eines konkaven Pyramidenstumpfes
Dann nimm das entsprechende Integral, wie erwähnt. Der eifrige Kollege hat die Formel für A(x) ja schon hingeschrieben.

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

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