Rechnen im Restklassenring Z_{9}

26.04.2021, 17:33

teha

Rechnen im Restklassenring Z_{9}

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bei der ich zwar eine Lösung habe, aber denke, dass es einen schlaueren Weg gibt:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb{Z}_9 \end{eqnarray*}$
Für welche c hat die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = c \end{eqnarray*}$
eine Lösung.

Meine Ideen:
Also ich habe einfach durchgerechnet $\begin{eqnarray*} 0^3 = 0, 1^3=1 \end{eqnarray*}$ usw. und mir dann angeschaut welche kombinationen welche Zahlen liefern. (Bin auf 0,1,2,7,8 gekommen). Scheint mir aber äußest umständlich. Denke mal da gibt es eine elegantere Lösung mid modulo rechnen usw. nur komme ich da nicht wirklich drauf.
Kann mir jeamdn verraten wie man das eleganter lösen kann? bzw. mir einen Tipp geben? Danke!

26.04.2021, 18:12

Elvis

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Die Kuben sind 0,1,8, deren Summe 3 mal 0, 2 mal 1, 1 mal 2, 1 mal 7, 2 mal 8. 2 Minuten Arbeit ist nicht umständlich. Weil die Addition von 0 nichts ändert, muss man ja nur 4 Summen bilden.

26.04.2021, 18:14

Huggy

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RE: Rechnen im Restklassenring Z_{9}
Man kann sich zunächst mal anschauen, welche Werte man für $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb {Z_9} \end{eqnarray*}$ bekommt. Wegen $\begin{eqnarray*} 3^3=9 \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$ kann man sich dabei auf $\begin{eqnarray*} a=0,1,2 \end{eqnarray*}$ beschränken. Wegen $\begin{eqnarray*} a^3+b^3=b^3+a^3 \end{eqnarray*}$ muss man dann nur noch 6 Kombinationen für $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ betrachten.

26.04.2021, 18:29

teha

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@Elvis
So umständlich ist das nicht klar. Dachte nur es gibt eine elegantere Lösung des Problems womit man dann auch mit größeren Restklassenringen arbeiten kann wo es dann mehr Summen sind.
@huggy
Stimmt das hatte ich gar nicht gesehen. Das macht das ganze natürlich angenehmer. Vielen Dank!

26.04.2021, 19:18

Leopold

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RE: Rechnen im Restklassenring Z_{9}

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} 3^3=9 \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$

26.04.2021, 19:35

Elvis

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Mit anderen Worten: Im Restklassenring ist die Gleichheit (der Klassen) von der Kongruenz (der Individuen) nicht zu unterscheiden - das ist der reinste Sozialismus. Big Laugh

Deshalb hat Carl Friedrich Gauß in seiner vorausschauenden Weisheit für das Kongruenzzeichen ein dem Gleichheitszeichen sehr ähnliches Symbol verwendet. Dadurch wurde der Kalkül extrem leicht handhabbar und hat sich in Windeseile durchgesetzt. Man kann dem Fürsten der Mathematik nicht genug danken. Gott

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