Infimum(a*b)

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kiwikiwi Auf diesen Beitrag antworten »
Infimum(a*b)
Meine Frage:
Bitte um einen Beweis.
Infimum(A*B)=Infimum(A)*Infimum(B).
A und B sind keine leeren Mengen, a sind die Elemente von A, b sind die Elemente von B und kein a, bzw. b ist negativ.
Danke


Meine Ideen:
keine Idee
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei und . Da und keine negativen Elemente enthalten, folgt .

Einen Teil hat man schnell bearbeitet. Sei und . Wegen folgt aus der Schrankeneigenschaft von und :



Damit ist eine untere Schranke von . Um nun zu zeigen, daß es die größte untere Schranke ist, zeigt man, daß man für jedes Elemente und finden kann mit



Dann muß die größte aller unteren Schranken sein, also .

Wir geben uns ein mit vor.
Da die größte untere Schranke von und die größte untere Schranke von ist, fndet man und mit



Der Nenner fällt hier vom Himmel. Natürlich habe ich ihn erst nachträglich angebracht, um in der Abschätzung für auf zu kommen. Das sieht schöner aus. Ebenso ist es mit der Zusatzannahme :

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