Intervall und Standardabweichung bestimmen

26.04.2021, 23:57

hallo1234232323

Intervall und Standardabweichung bestimmen

Meine Frage:
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 100 Fragen. Es werden zu jeder Frage drei Antworten angeboten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Jemand rät bei allen Antworten. Geben Sie ein Intervall an, in dem die Anzahl der richtigen Antworten mit einer Wahrscheinlichkeit von a) 68 % b) 95 % c) 99 % d) 30 % e) 60 % liegt.

Meine Ideen:
E(X) hab ich 33,3

Für ? (Sigma) hab ich 4,71
Jedoch weiß ich nun nicht genau, wie ich weitermachen soll. Danke schonmal im Voraus.

Mfg

27.04.2021, 08:20

Ulrich Ruhnau

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RE: Intervall und Standardabweichung bestimmen
Man könnte jetzt die Internetseite für die Berechnung der kumulierten Verteilungsfunktion aufrufen, und für $\begin{eqnarray*} n = 100 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=\frac 13 \end{eqnarray*}$ so lange unterschiedliche Werte für k durchprobieren, bis die Intervalle passen. Dabei muß der Reiter "untere kumulierte Verteilungsfunktion" benutzt werden.

$\begin{eqnarray*} F(k;n,p)=P(X\le k)=\sum\limits_{i=0}^{k} \binom nip^i(1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

Aber wenn man es jedoch rechnen sollte, dann könnte man auch über die Fehlerfunktion gehen.

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{n*p*(1-p)}=4{,}7140 \end{eqnarray*}$

[attach]53028[/attach]

Wenn ich k=35 eingebe, erhalte ich F(35;100,1/3) = 0.6803358261108998
Wenn ich alternativ die Normalverteilung berechne

$\begin{eqnarray*} \Phi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} \! e^{-\frac{t^2}2} \, dx =\frac 12\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}2\right) \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{35.5 - \frac {100}3}\sigma \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \Phi(x)=0.677105286939867 \end{eqnarray*}$ was eine Näherung ist und vielleicht als normaler Rechenweg gilt.

27.04.2021, 10:34

sigmar

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Zitat:

Geben Sie ein Intervall an, in dem die Anzahl der richtigen Antworten mit einer Wahrscheinlichkeit von a) 68 % b) 95 % c) 99 % d) 30 % e) 60 % liegt.

Es geht hier also um zum Erwartungswert symmetrische Vertrauensintervalle.
In der heutigen Zeit ist es in der Schulmathematik gewollt an geeigneter Stelle bestimmte technische Hilfsmittel zu nutzen.

Ich würde daher z.B. eine Wertetabelle für das Intervall $\begin{eqnarray*} [\frac{100}{3}-x \ ~ \ ; \ ~ \ \frac{100}{3}+x] \end{eqnarray*}$ mit einem GTR oder CAS bestimmen.

27.04.2021, 10:45

Steffen Bühler

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Ok, ich auch noch:

Die 68-95-99,7-Regel sollte jedem vertraut sein, der etwas Statistik betreibt.

Viele Grüße
Steffen

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