Geordnete Basis

27.04.2021, 10:25	RubixCubeLöser	Auf diesen Beitrag antworten »
Geordnete Basis Meine Frage: Hallo zusammen ich habe eine kurze Frage bezüglich des Begriffs der "geordneten Basis". Ich bin darauf gestoßen und verstehe auch die Definition dahinter: B geo. Basis <=> B Basis und Basisvektoren von B haben feste Reihenfolge Soweit so gut, nun die Frage: Wie beweise ich das eine Menge aus Vektoren eine geo. Basis ist. Der Nachweis das die Menge eine Basis ist, ist ja ein Leichtes, jedoch frage ich mich wie ich den Teil "geordnet" beweise. Außerdem die Frage: In welchen Gebieten/Aufgaben etc. macht es einen Unterschied ob eine Basis eine Basis ist oder eine geo. Basis? Vielen Dank und liebe Grüße! Meine Ideen: Basis klar, der geordnete Teil unklar.
27.04.2021, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Menge kann geordnet werden, seit Georg Cantor wissen wir, dass jede Menge sogar eine Wohlordnung besitzt (siehe Einführung in die Mengenlehre, z.B. Oliver Deiser). Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ zwischen endlich-dimensionalen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorräumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit geordneter Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ mit geordneter Basis $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ hat genau eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , für die gilt $\begin{eqnarray} \forall x\in V:f(x)=M\cdot x \end{eqnarray}$ . Wenn du die Basen anders ordnest, bekommst du eine andere Darstellungsmatrix; siehe auch das Thema "Basiswechsel".
27.04.2021, 13:00	RubixCubeLöser	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, vor allem bezüglich meiner zweiten Frage, das ergibt natürlich auch Sinn (inuitiv vorallem mit den Darstellungsmatrizen). Bezüglich meiner ersten Frage habe ich allerdings eine Nachfrage, nämlich: Also gibt es bezüglich dem Beweis garnichts zu beweisen, dass diese Basis geordnet ist. Habe ich beispielsweise die Standardbasis des IR^3 E:= {e_1, e_2, e_3}. Wenn ich diese Basis nun ordne zu E':= (e_1, e_2, e_3), dann ist E' immernoch natürlich eine Basis (habe ich bewiesen) und erwähne nur, dass die Reihenfolge nicht geändert werden darf, also das jeder Basisvekot seinen "festen Platz" hat. Sehe ich das so richtig? Liebe Grüße
27.04.2021, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dieser Standardbasis kannst du durch umordnen genau 6 verschiedene geordnete Basen machen, indem du die Indices umordnest: 123,132,213,231,312,321. Das ist alles, es ist eine Basis (Menge) und sechs geordnete Basen (geordnete Mengen).

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