Transition Abbildung auf $ L^1$

27.04.2021, 22:37	ILoveMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Transition Abbildung auf $ L^1$ Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} u\in L^1(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial ^a}{\partial x^a}u\in L^1(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ für alle multi index $\begin{eqnarray} a\leq k \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\|h\|\to 0} \\|\tau_h( \frac{\partial ^a}{\partial x^a}u)-\frac{\partial ^a}{\partial x^a}u\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|h\|\to 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \tau_h u(x):=u(x+h) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich zeige zuerst, dass für $\begin{eqnarray} u\in L^1(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \\|tau_h u-u\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)} \end{eqnarray}$ gegen 0 konvergiert. Dazu sein $\begin{eqnarray} u\in L^1 \end{eqnarray}$ , aus Dichtheit finde ich ein $\begin{eqnarray} u_\varepsilon\in C_c(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \\|u-u_\varepsilon\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \\|tau_h u-u\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\leq \\|\tau_h u-\tau_h u_\varepsilon\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}+\\|\tau_h u_\varepsilon-u_\varepsilon\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}+\\|u_\varepsilon-u\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\leq 2\varepsilon+\\|\tau_h u_\varepsilon-u_\varepsilon\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \lim_{\|h\|\to 0} \\|\tau_h u_\varepsilon-u_\varepsilon\\|_{L^1(\mathbb{R}^n)}\to 0 \end{eqnarray}$ somit folgt die Behauptung. Damit soll die Summe auch gegen 0 konvergieren. Edit by IfindU: LaTeX repariert. Man nutzt hier Tags statt $.
27.04.2021, 22:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transition Abbildung auf $ L^1$ Sieht doch gut aus. Je nachdem wie penibel man ist könnte man für die einzelnen Schritte noch Begründungen einfordern (z.B. Translation ändert nicht die $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Norm), korrekt ist jedoch alles. Edit: Nachtrag. Wenn man noch zeigt, dass Translation und Ableitung kommutieren, so hat man gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \tau_h u \to u \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} W^{k, 1} \end{eqnarray}$ konvergiert.

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