Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein
Ich lese gerade o.g. Satz in Deiser‘s Mengenlehrebuch. Mir scheint der Beweis unnötig kompliziert und folgender Beweis wäre viel einfacher:

Seien A, B Mengen und sei |A| |B| und |B| |A|. Wir wissen bereits, dass entweder |A| > |B| oder |A| < |B| oder |A| = |B|. Nun gehen wir einfach alle drei Fälle durch und stellen anhand der beiden Voraussetzungen fest, dass die beiden ersten Fälle ausscheiden, so dass nur |A| = |B| übrig leibt.

Ich ahne natürlich, dass dieser Beweis irgendeinen Haken/Fehler beinhalten muss, aber wo genau?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein
Ich kenne die Definition nicht, welche Deiser benutzt. Wenn es die von Wiki ist, bedeutet sowie , dass es keine bijektive Abbildung gibt zwischen und , während heißt es gibt eine bijektive Abbildung.

D.h. du musst entscheiden ob es eine bijektive Abbildung gibt oder nicht. Inwiefern du das einfach anhand der Voraussetzungen feststellen kannst, weiß ich nicht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein
Zitat:
Original von IfindU
Ich kenne die Definition nicht, welche Deiser benutzt. Wenn es die von Wiki ist, bedeutet sowie , dass es keine bijektive Abbildung gibt zwischen und , während heißt es gibt eine bijektive Abbildung.


Ich würde das nur über die Zeichenbedeutung machen wollen, das wäre einfacher. Zwei Mächtigkeiten |A|, |B| haben nur drei (entweder-oder) Vergleichsoperatoren: >, <, =. Das sollte axiomatisch oder per Definition festgelegt sein. Wenn wir dann |A| |B| und |B| |A| annehmen, dann kann weder |A| > |B| sein, weil das |B| |A| widerspräche noch |A| < |B|, weil das |A| |B| widerspräche. Damit bleibt als Vergleichsoperator nur noch |A| = |B| übrig.

Dieser Beweis wäre viel einfacher als alle Beweise, die ich dazu bisher gesehen habe. Deshalb bin ich mir auch sicher, dass irgendwo was nicht klappt, denn warum sollten Profi-Mathematiker unnötig komplizierte Beweise anbieten?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du schaust hier in den Abgrund der Unendlichkeiten.

Nimm N und Z (natürliche und ganze Zahlen)

Jetzt betrachte die Teilmenge der geraden Zahlen von N und die Teilmenge der ungeraden natürlichen Zahlen von Z. Und jetzt erweiter deine Überlegungen auf alle (unendliche) Mächtigkeiten von Mengen.

Deine 3 Fälle sind da nicht ohne weiteres evident.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzsatz von Cantor-Bernstein
Zitat:
Original von Pippen
Ich würde das nur über die Zeichenbedeutung machen wollen, das wäre einfacher. Zwei Mächtigkeiten |A|, |B| haben nur drei (entweder-oder) Vergleichsoperatoren: >, <, =. Das sollte axiomatisch oder per Definition festgelegt sein.

Das zeigt, wie wenig sorgfältig du dich mit der Problematik des Größenvergleichs unendlicher Mengen vertraut gemacht hast und wie wenig sorgfältig du den Deiser gelesen hast. Deiser definiert zunächst über injektive und bijektive Abbildungen, was







bedeuten soll (Seite 65). Er verweist dabei unten auf dieser Seite explizit darauf hin, dass "Es gibt eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung von nach " keine sinnvolle Definition von ist. ist also hier noch nicht definiert und es ist an dieser Stelle noch unklar, ob und wie man es sinnvoll definieren kann. Damit steht auch noch nicht fest, dass immer genau einer der drei Fälle zutrifft. Erst im Nachgang zum Satz von Cantor-Bernstein wird dann auf Seite 77 definiert. Und erst wiederum danach folgt auf Seite 81 der Vergleichbarkeitssatz, nämlich dass für beliebige Mengen immer oder gilt. Erst damit ist sichergestellt, dass beliebige Mengen sinnvoll der Größe (Mächtigkeit, Kardinalität) nach verglichen werden können.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Über ZF ist Trichotomie der Ordnung zwischen Kardinalzahlen äquivalent zum Auswahlaxiom. Aber CBS gilt schon unter schwächeren Voraussetzungen, insbes. in Zermelo-Menegenlehre ohne Choice, siehe: L. Halbeisen: Comparing cardinalities in Zermelo's system (2010)
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Über ZF ist Trichotomie der Ordnung zwischen Kardinalzahlen äquivalent zum Auswahlaxiom. Aber CBS gilt schon unter schwächeren Voraussetzungen, insbes. in Zermelo-Menegenlehre ohne Choice, siehe: L. Halbeisen: Comparing cardinalities in Zermelo's system (2010)


Bedeutet das, dass in ZFC der Äquivalenzsatz ganz einfach mit meiner Idee bewiesen werden könnte?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Lies mal das Abstract des Artikels. Dann sollte dir klar sein, dass dem nicht so ist.
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