Leere Funktionen

28.04.2021, 15:13

Pippen

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Leere Funktionen

f: $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> A (nichtleer)
f': A (nichtleer) -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$
f'': $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$

ME gilt: f = f' = f'' = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?

28.04.2021, 16:39

zweiundvierzig

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Für jedes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Funktion $\begin{eqnarray*} i_A :\emptyset \to A \end{eqnarray*}$ .

Für jedes $\begin{eqnarray*} A \ne \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (A \to \emptyset)= \emptyset \end{eqnarray*}$ (Menge der Fkt. von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ).

28.04.2021, 18:55

Pippen

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RE: Leere Funktionen
Ich weiß nicht, ob ich dich verstehe. Funktionen sind ja letztlich nur Mengen von geordneten Paaren, die gewissen Voraussetzungen genügen müssen. Wenn gilt:

f: $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> A (nichtleer)
f': A (nichtleer) -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$
f'': $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ,

dann sind f, f' und f'' Mengen und die Frage ist, was drin ist; das wird durch die Abbildungsvorschrift geklärt. Für mich sind f, f' und f'' leer. Ist das so richtig? Oder ist etwa eine der Mengen f, f', f'' undefiniert oder sowas?

28.04.2021, 20:16

zweiundvierzig

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Für jedes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Funktion $\begin{eqnarray*} \emptyset \to A \end{eqnarray*}$ (die "leere Funktion").

Es gibt keine Funktion $\begin{eqnarray*} A \to \emptyset \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nichtleer ist.

Um eine Funktion zu definieren, reicht es nicht, ihren Graphen anzugeben, sondern auch Definitions- und Wertebereich gehören dazu. Ein Isomorphismus ("strukturelle Gleichheit") $\begin{eqnarray*} (\varphi,\psi):f \cong g \end{eqnarray*}$ zwischen zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f:A \to B, g:A' \to B' \end{eqnarray*}$ besteht aus bijektiven Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi:A \to A', \psi: B \to B' \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (g \circ \varphi)(a) = (\psi \circ f)(a) \end{eqnarray*}$ gilt.

29.04.2021, 01:36

Pippen

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RE: Leere Funktionen
Du hast natürlich recht, aber mich interessieren hier nur die Funktionsgraphen f, f‘ und f‘‘. Ich glaube, dass f = f' = f'' = $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , wenn

f: $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> A (nichtleer)
f': A (nichtleer) -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$
f'': $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere bei f‘ bin ich mir unsicher, weil ja dort gar keine Funktion vorliegt, aber das hieße ja erst recht, dass f‘ leer sein müsste oder ist es dann nicht nur nicht leer, sondern gar undefiniert?

29.04.2021, 05:26

zweiundvierzig

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Zu f': Erinnerung "Eine Funktion f:A -> B ist eine **irgendwas irgendwas** Relation **irgendwas irgendwas**".

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03.05.2021, 08:20

Pippen

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So stackexchange hat's bestätigt: alle drei Graphen sind leer, logisch, denn aus einer leeren Menge mal irgendwas kann man kein geordnetes Paar basteln. Nicht alle drei Fälle sind aber Funktionen; der zweite Fall ist keine, wobei das auch stark von der Definition abhängt. So definiert zB Deiser eine Funktion als "Sei f eine Menge geordneter Paare. Die Menge f heißt Funktion falls ...." Unter dieser Definition wären alle drei Fälle keine Funktion!

03.05.2021, 14:11

Luftikus

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Es fragt sich, wie man das formal aufschreibt.
Da eine Funktion ja eine Relation f zwischen zwei Mengen X und Y ist, vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} f=\{(x,y) | x \in X \wedge y \in Y\} \end{eqnarray*}$

Die Paare kann man jetzt formal definieren:

$\begin{eqnarray*} (x,y) := \{\{x\}, \{x,y\}\} \end{eqnarray*}$

Dann waren

$\begin{eqnarray*} f=f''= \{\{\varnothing\}\} \end{eqnarray*}$

Aber f' müsste sein (?)

$\begin{eqnarray*} f'= \{\{\{x\}, \varnothing\}\} \end{eqnarray*}$

04.05.2021, 01:49

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Luftikus
$\begin{eqnarray*} f=\{(x,y) | x \in X \wedge y \in Y\} \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite ergibt das volle kartesische Produkt $\begin{eqnarray*} X \times Y \end{eqnarray*}$ , das ist i.a. nicht der Graph einer Funktion.

Für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} X \times \emptyset = \emptyset = \emptyset \times X \end{eqnarray*}$ . Die leere Funktion $\begin{eqnarray*} \emptyset \to X \end{eqnarray*}$ hat den Graphen $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ . Es gibt keine Funktion $\begin{eqnarray*} X \to \emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \ne \emptyset \end{eqnarray*}$ , da in diesem Fall keine linkstotale Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq X \times \emptyset \end{eqnarray*}$ existiert.

04.05.2021, 01:52

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
So definiert zB Deiser eine Funktion als "Sei f eine Menge geordneter Paare. Die Menge f heißt Funktion falls ...." Unter dieser Definition wären alle drei Fälle keine Funktion!

Das ist falsch.

04.05.2021, 12:49

Dopap

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code:
1:	Eine Funktion ist eine linkstotale rechtseindeutige Relation

das hab' ich meinen NHS immer als prompte Antwort empfohlen. Kein Rumgedruckse keine Symbole ...

Und ist erstmal richtig und gibt Punkte beim Prüfer.

Und auf Begriffe wie Graph, Funktionsvorschrift etc. tunlichst verzichten.

05.05.2021, 00:53

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
So definiert zB Deiser eine Funktion als "Sei f eine Menge geordneter Paare. Die Menge f heißt Funktion falls ...." Unter dieser Definition wären alle drei Fälle keine Funktion!

Das ist falsch.

Sowohl f, f‘ und f‘‘ sind keine Mengen geordneter Paare, sondern einfach die leere Menge, die kein geordnetes Paar ist. Damit trifft bereits Deisers erste Voraussetzung für eine Funktion nicht zu. Ich sage ja nur, dass unter Deisers Definition weder f, f‘ noch f‘‘ Funktionen wären; definiert man Funktion anders, dann kann sich das Blatt wenden.

05.05.2021, 01:35

zweiundvierzig

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Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:A \to B \end{eqnarray*}$ ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation $\begin{eqnarray*} f \subseteq A \times B \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq \emptyset \times B = \emptyset \end{eqnarray*}$ eine linkstotale, rechtseindeutige Relation.

Allgemein: Wenn die Rede ist von einer beliebigen "Menge von Paaren, Zahlen, Lösungen, Vektoren, Punkten,...", dann enthält dies immer die leere Menge, es sei denn, dass dies explizit ausgeschlossen wird.

"Menge von Paaren" ist nicht zu lesen als "nichtleere Menge, die Paare enthält", sondern "Teilmenge eines zweistelligen kartesischen Produkts" (was explizit die leere Menge mit einschließt, sofern dies nicht durch eine weitere nachfolgende Bedingung ausgeschlossen wird).

Soviel zur allgemeinen Redeweise in der Mathematik. Ansonsten wäre es ziemlich unnatürlich, die leeren Funktionen $\begin{eqnarray*} \emptyset \to A \end{eqnarray*}$ zu verbieten, z.B. gälte nicht mehr $\begin{eqnarray*} |A \to B| = |B|^{|A|} \end{eqnarray*}$ für die Menge der Funktionen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Die (Kardinalzahl-)arithmetik ginge kaputt.

05.05.2021, 05:02

Pippen

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Ich stimme dem zu, was du schreibst, das dürfte das standardmathematische Modell für Funktionen sein, aber Deiser definiert nunmal eine Funktion als „Menge geordneter Paare“, die darüberhinaus gewisse Eigenschaften hat, er schreibt dort gerade nichts von „Teilmenge“ und die leere Menge ist keine Menge geordneter Paare. In Deisers Funktionsmodell dürften deshalb weder f, f‘ noch f‘‘ Funktionen sein, weil alle drei Mengen nur leer sind.

05.05.2021, 08:27

Huggy

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Zitat:

Original von Pippen
und die leere Menge ist keine Menge geordneter Paare.

Doch ist sie. Denn jedes Element der leeren Menge ist ein geordnetes Paar. Da die leere Menge keine Elemente hat, trifft diese Aussage offensichtlich auf alle Elemente der leeren Menge zu. Ebenso trifft es zu, dass alle Elemente der leeren Menge grün sind. Deiser schließt bei seiner Definition von Relation und Funktion die leere Menge keineswegs aus.

06.05.2021, 03:29

Pippen

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Ja, stimmt wg. der leeren Wahrheit. Aber zum Verständnis: die leere Menge ist kein geordnetes Paar, richtig?

06.05.2021, 11:03

Huggy

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Nein, die leere Menge selbst ist kein geordnetes Paar.

06.05.2021, 12:17

Finn_

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Die Mengen sind endlich und klein. Man kann die Menge der Abbildungen anhand der Definitionen daher auch vom Computer berechnen lassen. Im Folgenden sind die Mengen als Listen dargestellt. Das ist vorteilhaft, weil die Aufzählung dann in einer gewissen Reihenfolge stattfindet.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
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18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
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28:
29:
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32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:

# "[f(x) for x in A]" bedeutet "{f(x) | x in A}"
# "all(P(x) for x in A)" bedeutet "für alle x in A: P(x)"
# "any(P(x) for x in A)" bedeutet "es gibt x in A: P(x)"

def implies(A, B):
    return not A or B

def cartesian_product(A, B):
    return [(x, y) for x in A for y in B]

def power_set(A):
    P = [[]]
    for X in A:
        P = P + [S + [X] for S in P]
    return P

def is_left_total(f, A, B):
    return all(any((x, y) in f for y in B) for x in A)

def is_right_unique(f, A, B):
    return all(all(
        implies((x, y1) in f and (x, y2) in f, y1 == y2)
        for y1 in B for y2 in B)
            for x in A)

def Abb(A, B):
    return [f for f in power_set(cartesian_product(A, B))
        if is_left_total(f, A, B) and is_right_unique(f, A, B)]

print(Abb([0], []))
print(Abb([0, 1], []))
print(Abb([0, 1, 2], []))
# Jeweils [].
# Ergo: Abb(A, {}) ist leer für nichtleeres A.

print(Abb([], []))
print(Abb([], [0]))
print(Abb([], [0, 1]))
# Jeweils [[]].
# Ergo: Abb({}, B) enthält lediglich die leere Funktion {}.

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