Genau eine Lösung?

30.04.2021, 00:42

Dopap

Genau eine Lösung?

Diese Gleichung liegt vor

$\begin{eqnarray*} \left(x-\frac 1x\right)^\tfrac12 + \left(1-\frac 1x\right)^\tfrac12=x, \end{eqnarray*}$

die "gelöst" werden soll. Mit der Annahme, dass x eine Variable und und die Grundmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, ergibt sich folgendes Bild:

Sieht so aus als ob genau eine Lösung existiert falls eine Tangente im Spiel ist.

Stimmt das denn ?

30.04.2021, 01:14

klauss

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RE: genau eine Lösung?
Bei näherer Untersuchung der Gleichung stelle ich für die linke Seite allein einen Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} [0;1[ \end{eqnarray*}$ fest.
Da die linke Seite aber insgesamt nur nichtnegative Werte liefern kann, muß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst auch nichtnegativ sein, weshalb sich der Definitionsbereich zu $\begin{eqnarray*} x \in [1;\infty[ \end{eqnarray*}$ reduziert.
Weiterbehandelt bin auf die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x^{4} -2x^{3} -x^{2} +2x +1=0 \end{eqnarray*}$
mit der Lösung $\begin{eqnarray*} x=\frac{1+\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$
gekommen.
Da scheint sich also der goldene Schnitt versteckt zu haben, was Kenner vielleicht auf Anhieb gesehen hätten.

30.04.2021, 11:17

Dopap

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Was denn sonst? Augenzwinkern

Mein TR weigert sich beharrlich das Polynom zu erstellen.
Da hilft auch die Vorgabe $\begin{eqnarray*} ASSUME(X>1) \end{eqnarray*}$ wenig.
Er will unbedingt die Grundmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ haben.
Nach Eingabe des Polynoms hat er mit dem Reellen keine Probleme mehr.

Hast du das Polynom mit der Hand bestimmt?

30.04.2021, 11:47

klauss

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Zitat:

Original von Dopap
Hast du das Polynom mit der Hand bestimmt?

(Radio Eriwan) Im Prinzip ja. Nur zwischendrin habe ich lästiges Klammernausmultiplizieren WolframAlpha überlassen, weil ich keine Lust auf die Schreibarbeit hatte.

30.04.2021, 13:13

willyengland

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Hier bekommst du es im Video vorgerechnet:
https://www.doubtnut.com/question-answer...1-1-x1-2x-61181

30.04.2021, 17:35

Dopap

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RE: Genau eine Lösung?
indisches Englisch geht mir auf...

mMn etwas klarer im Aufschrieb - das hilft beim Denken -
ist eine Substitution:

$\begin{eqnarray*} \underbrace {\left(x-\frac 1x\right)^\tfrac12}_{u} + \underbrace {\left(1-\frac 1x\right)^\tfrac12}_{v}=x, \end{eqnarray*}$

führt direkt zu $\begin{eqnarray*} (1) \quad u+v=x \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} (2) \quad u^2-v^2=x(u-v)\Rightarrow \frac{x-1}{x}=u-v \end{eqnarray*}$ und zu (1) addiert ist das Ziel schon in Sichtweite.

Und das ganz ohne TR smile

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