Immersion und Hyperfläche

30.04.2021, 07:48

hihi00

Immersion und Hyperfläche

Meine Frage:

Zeigen Sie, dass die Abbildung F : (0, 2pi) -->R^2, F(t) = $\begin{eqnarray*} \begin{matrix}sin(2t)\\sin(t)\end{matrix} \end{eqnarray*}$ eine injektive C-Unendlich-Immersion ist. Überlegen Sie sich weiter, dass F(0, 2Pi) keine Hyperflächein R^2 darstellt.

Meine Ideen:
Hallo liebe Helfer*innen

Bei der Aufgabe weiß ich nicht, wie genau ich an den Begriff der Immersion herangehen soll, hier wäre eine kurze Erklärung der Vorgehensweise ganz sinnvoll. Für den zweiten Teil zu zeigen (evtl. auch für den ersten?) können wir die Existenz des Möbiusbands benutzen, wobei ich für den Gegenbeweis auch eine mögliche Herangehensweise in einem anderen Forum gefunden habe, aber nicht genau weiß, ob man diese so oder so ähnlich hier benutzen kann:
ein mögliche strategie für den beweis (nur skizzenhaft) ist folgende: betrachte einen (angenehmen) Punkt des Bandes, berechne eine orthonormalbasisbasis des tangentialraumes. ergänze die basis zu einer orthonormalbasis des \IR^3. der ergänzte vektor bildet eine orthonormalbasis des normalenraumes. setze diesen längs des bandes stetig fort, bis du an den ausgangspunkt zurückkehrst. dort hat aber der normalenvektor dann das andere vorzeichen! wiederspruch.

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

30.04.2021, 15:25

Huggy

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RE: Immersion und Hyperfläche
Das ist nicht gerade mein Metier. Da aber bisher niemand geantwortet hat, versuche ich mal mein Glück.

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} C^\infty \end{eqnarray*}$ Immersion, weil sie beliebig oft differenzierbar ist und ihre Fundamentalmatrix überall den maximalen Rang hat, nämlich den Rang $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Das Letztere musst du natürlich zeigen. Die Fundamentalmatrix ist hier ein Vektor. Du musst zeigen, dass der nirgends zum Nullvektor wird.

Weshalb willst du beim zweiten Teil das Möbiusband benutzen? Das bewegt sich doch im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Bei der Aufgabe sind wir aber im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Man könnte so vorgehen: Die durch $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ definierte Punktmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist identisch mit der Nullstellenmenge der Funktion $\begin{eqnarray*} G: (\mathbb R^2 \to \mathbb R, \, G(x,y)=x^2-4y^2(1-y^2) \end{eqnarray*}$ . Damit diese Nullstellenmenge eine Hyperfläche (Kurve) im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist, muss die Fundamentalmatrix von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ überall auf der Nullstellenmenge maximalen Rang haben. Das hat sie aber nicht. Wo hat sie nicht den maximalen Rang?

30.04.2021, 17:52

hihi00

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Super, dass sich doch noch ein engagierter Helfer gefunden hat Wink

Die beliebige Integrierbarkeit sieht man bei einer Sinusfunktion ja relativ schnell.
Mit der Fundamentalmatrix meinst du in diesem Fall doch die partielle Ableitung von F, oder nicht? Ansonsten bin ich mit einer Fundamentalmatrix in diesem Zusammenhang noch nicht in Berührung gekommen?
Die Ableitung wäre ja genau (2*cos(2t), cos(t)), wobei diese nicht der 0-Vektor ist für egal welches t, sondern vom Rang 1 (also voller Rang)

Muss man für die Injektivität hier nicht zusätzlich auch noch etwas zeigen, oder ist diese bei der Immersion automatisch mit dabei?

Stimmt, da lag ich irgendwie daneben...
Wie kommst du hier genau auf die Funktion G? Für die Existenz einer Hyperfläche nachzuweisen, muss ich normalerweise ja nur den Gradienten der Funktion berechnen und zeigen, dass dieser für einen Punkt aus der Menge ungleich ist. Die partielle Ableitung von G wäre hier ja dann (2x, 16y^3-8y)? Oder wie genau zeige ich hier den "nicht-vollen" Rang?
Könnte man für den Gegenbeweis auch irgendwie verwenden, dass die Funktion f offen sein muss, damit das zugehörige Bild eine Untermannigfaltigkeit ist, was aber hier ja nicht der Fall sein darf?

30.04.2021, 20:18

Huggy

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Zitat:

Original von hihi00
Mit der Fundamentalmatrix meinst du in diesem Fall doch die partielle Ableitung von F, oder nicht?

Ja.

Zitat:

Die Ableitung wäre ja genau (2*cos(2t), cos(t)), wobei diese nicht der 0-Vektor ist für egal welches t, sondern vom Rang 1 (also voller Rang)

Ja.

Zitat:

Muss man für die Injektivität hier nicht zusätzlich auch noch etwas zeigen, oder ist diese bei der Immersion automatisch mit dabei?

Eine Immersion muss lokal injektiv sein. Das wird dadurch gesichert, dass die Fundamentalmatrix überall den maximalen Rang hat. Global muss eine Immersion nicht injektiv sein.

Zitat:

Wie kommst du hier genau auf die Funktion G?

Es ist

$\begin{eqnarray*} \sin (2t)=2 \sin t \cos t \end{eqnarray*}$

Damit folgt aus der Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x^2=4 \sin^2 t \cos^2 t=4 \sin^2 t \, (1-\sin^2 t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=\sin^2 t \end{eqnarray*}$

Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} x^2=4 y^2 (1-y^2) \end{eqnarray*}$

Das entspricht meinem

$\begin{eqnarray*} G(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die partielle Ableitung von G wäre hier ja dann (2x, 16y^3-8y)? Oder wie genau zeige ich hier den "nicht-vollen" Rang?

Die Ableitung ist doch an der Stelle $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0 \end{eqnarray*}$ ) der Nullvektor. Der Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist Teil des Bilds von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Er wird für $\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$ erreicht.

30.04.2021, 21:12

hihi00

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Wow, vielen Dank dir. Damit hast du mir trotz deiner Prioritäten in anderen Bereichen sehr helfen können Freude

Auf die Abschätzung beim Sinus muss man aber erstmal kommen, diese Regel mit den Doppelwinkelfunktionen war mir vorher auch noch gar nicht bekannt.

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