Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

30.04.2021, 14:13

MasterWizz

Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

Hey Leute

um die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)=\arctan(x) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, möchte ich die Funktion einmal ableiten, von dieser Ableitung die Potenzreihe bestimmen und dann wieder gliedweise integrieren. Allerdings darf ich nur dann gliedweise integrieren, wenn die Funktionenreihe gleichmäßig konvergent ist. Um das zu zeigen, brauche ich eure Hilfe.

Aufgabe ist also zu zeigen, dass die (Funktionen-)Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert. Wenn ich zeigen könnte, dass die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} S_N(x)=\sum\limits_{n=0}^N(-1)^n\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf einem abgeschlossenen Intervall konvergiert, dann würde ja folgen, dass auch die Reihe gleichmäßig konvergiert. Dabei stoße ich allerdings auf ein Problem, denn diese Folge der Partialsummen konvergiert nur dann gleichmäßig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \sup\limits_{[-1,1]}|S_N(x)-f(x)| =0 \end{eqnarray*}$ gilt. Aber durch das Supremum lande ich bei 1 und nicht bei Null.

Könnt ihr mir helfen meinen Gedanken-/Rechenfehler zu finden?

30.04.2021, 14:16

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ , aber nicht gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Genauer konvergiert die Reihe nicht einmal bei $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ .

30.04.2021, 14:34

MasterWizz

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Können wir aus der lokalen gleichmäßigen Konvergenz auf die gliedweise Integrierbarkeit schließen? Und falls ja, wie genau kann wie lokale gleichmäßige Konvergenz nachgewiesen werden?

30.04.2021, 15:07

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Lokal gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ heißt für alle kompakten Mengen $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ gilt die Aussage. In diesem konkreten Fall also (effektiv), dass die Funktionsfolge gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [-q,q] \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} 0 < q < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Und das reicht aus, um auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ Ableitung und Integral zu vertauschen ja. Allgemein kann man zeigen, dass eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R > 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-R, R) \end{eqnarray*}$ lokal-gleichmäßig konvergiert. Hier ist es ziemlich leicht mithilfe der geometrischen Reihe (und der expliziten Darstellung der Partialsummen) die gleichmäßige Konvergenz nachzuweisen.

30.04.2021, 17:44

MasterWizz

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Ist dann folgende Vorgehensweise richtig, um die (lokale) gleichmäßige Konvergenz auf einem beliebigen kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x\in[a,b]} \left|S_N(x)-f(x)\right| = \sup\limits_{x\in[a,b]}\left|\frac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right| = \dfrac{b^{2(N+1)}}{1+b^2}\underset{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$

Und dann würde ich noch zu gern wissen, warum auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe ist, denn sie ist ja eigentlich nicht in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ gegeben. Nennt man eine unendliche Reihe mit einem x trotzdem Potenzreihe, weil sie immer in diese allgemeine Form gebracht werden könnte? Oder nennt man sie nur dann Potenzreihe, wenn die Umformung möglich ist?

30.04.2021, 19:00

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

Zitat:

Original von MasterWizz
Ist dann folgende Vorgehensweise richtig, um die (lokale) gleichmäßige Konvergenz auf einem beliebigen kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ zu zeigen?

$\begin{eqnarray*} [...] = \sup\limits_{x\in[a,b]}\left|\frac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right| = \dfrac{b^{2(N+1)}}{1+b^2} \end{eqnarray*}$

Der richtige Gedanke, aber eine falsche Abschätzung. Was "vielleicht" stimmt ist
$\begin{eqnarray*} [...] = \sup\limits_{x\in[a,b]}\left|\frac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right| = \dfrac{c^{2(N+1)}}{1+c^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = \max\{|a|, |b|\} \end{eqnarray*}$ .

Was sicher stimmt, und vollkommen ausreicht, ist
$\begin{eqnarray*} [...] = \sup\limits_{x\in[a,b]}\left|\frac{1-(-x^2)^{N+1}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right| \leq \dfrac{c^{2(N+1)}}{1+0^2} = c^{2(N+1)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MasterWizz
Und dann würde ich noch zu gern wissen, warum auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe ist, denn sie ist ja eigentlich nicht in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ gegeben. Nennt man eine unendliche Reihe mit einem x trotzdem Potenzreihe, weil sie immer in diese allgemeine Form gebracht werden könnte? Oder nennt man sie nur dann Potenzreihe, wenn die Umformung möglich ist?

Man mag es enger sehen, aber für mich ist es eine Potenzreihe, insofern $\begin{eqnarray*} a_n[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existieren, so dass es die obige Form hat. Damit hat die Reihe alle Eigenschaften einer Potenzreihe, ob sie nun direkt so aussieht oder nicht.

30.04.2021, 19:20

MasterWizz

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Super vielen lieben Dank für deine Hilfe!! smile

Ich würde nur gern zum Abschluss noch zu deiner letzten Ausführung eine provokante Frage stellen: Ist damit jede (Funktionen-)Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty f_n(x) \end{eqnarray*}$ eine Potenzrreihe oder gibt es Kriterien, für die eine Umformung in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ möglich ist?

Für die Auffindbarkeit sollte ich das eigentlich ein eigenes Thema aufmachen, nur passt es grad so gut.

30.04.2021, 19:50

IfindU

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Die provokante Frage lässt sich sofort mit nein beantworten. Potenzreihen haben spezielle Eigenschaften wie einen Konvergenzradius.

Jede Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} a_n x^{f(n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb N \to \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist eine Potenzreihe (sofern wohldefiniert): Wenn ich mich nicht vertue ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} a_n x^{f(n)} = \sum_{n \geq 0} \left(\sum_{k \in f^{-1}(n)} a_k\right) x^n \end{eqnarray*}$ .

01.05.2021, 11:04

MasterWizz

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Wow richtig stark! Das schau ich mir mal genauer an, vielen vielen Dank!! smile

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Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

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