Orientierung von Matrizen |
30.04.2021, 19:14 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Orientierung von Matrizen Ich habe bei der folgenden Aufgabe Schwierigkeiten(siehe Bild). Eine Matrix ist gegeben, jedoch dachte ich, dass ich 2 Basen benötige, davon die Darstellungsmatrix berechne und dann schaue, ob die Determinante > oder < 0 ist. Wie muss ich hier vorgehen? |
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30.04.2021, 20:44 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Lies mal hier https://de.wikiversity.org/wiki/Orientie...g/Textabschnitt das Lemma. |
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30.04.2021, 21:19 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Hi, danke Dir! Woher sehe ich hier, dass es sich um einen Automorphismus handelt? Dass heißt ich bestimme hier einfach die Determinante? Und für (s_x * s_y) sage ich, dass die Determinante > 0 ist, wenn beide Elemente positiv oder negativ sind, und somit dann gleich orientiert sind. |
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30.04.2021, 22:25 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Wenn die Determinante ungleich Null ist, ist die Matrix invertierbar. Eine bijektive kineare Abbildung eines Vektorraums auf sich ist ein Automorphismus.
Ja.
Ja. |
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30.04.2021, 22:29 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Okay, woher sehe ich das ? also das dies eine bijektive lineare Abbildung ist |
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01.05.2021, 08:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Dass die Abbildung linear ist, kann wohl als bekannt angesehen werden, ergibt sich aber auch aus den Regeln der Matrixmultiplikation. Ebenso ergibt sich daraus Nun sei invertierbar und es sei , also . Wegen der Linearität ist dann Nun ist aber und daher , also . Die Abbildung ist daher injektiv. kann auf jeden Vektor angewandt werden und es sei Dann ist Die Abbildung ist also surjektiv. Injektiv + Surjektiv = Bijektiv. |
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01.05.2021, 12:21 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Mir ist noch nicht ganz klar, woran ich erkenne, dass dies eine Abbildung ist, die in den selben Vektorraum abbildet. wie kann ich die geometrische Bedeutung erklären? Ich weiß, dass eine negative Determinante "negativ orientiert" bedeutet, sprich eine Achse "gespiegelt" ist. |
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01.05.2021, 13:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
So ist die Aufgabe offenbar gemeint. Man kann ja alles mögliche mit einer Matrix anstellen. Was man mit ihr anstellen soll, kann man der Matrix nicht ansehen.
Gefordert ist nur die Angabe der Bedeutung dieser 3 Matrizen. Allgemeine Überlegungen sind nicht gefordert. |
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01.05.2021, 14:57 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen genau das frage ich mich ja, welche Wirkung die Matrizen haben bzw welche geometrische Bedeutung |
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01.05.2021, 16:09 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Was nützt es, wenn ich dir das vorsage? Beschäftige dich doch mal damit. Was wird bei den Abbildungen aus den Basisvektoren? Was wird aus einem allgemeinen Vektor? Mach dir Beispiele mit konkreten Zahlen. Die Matrix d) sollte dir bekannt vorkommen. Bei c) gibt es eine gewisse Verwandtschaft mit d). Ohne Fleiß kein Preis! |
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01.05.2021, 16:23 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen Naja du sollst mir nix vorsagen, mir fehlt einfach der Ansatz.
Wenn was passiert? Ich muss doch die Matrix mit irgendwas multiplizieren oder nicht? Wenn ich bspw. die Matrix a) mit (1,0) multipliziere, entsteht daraus der Vektor (s_x, 0). Allgemein mit Vektor(x,y) verändert die Matrix a) diesen also zu (s_x*x, s_y,y) |
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01.05.2021, 16:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Ja.
Ja. Jetzt interpretiere das mal geometrisch. Multiplikation mit einem positiven Faktor ist doch einfach eine Steckung/Stauchung. Und was bedeutet ein Minuszeichen geometrisch? |
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01.05.2021, 16:41 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Das hilft weiter.
Minuszeichen bedeutet geometrisch Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung. z.B. wird aus dem Vektor (0,5) der entgegengesetzte Vektor (0,-5) -> Spiegelung an der x-Achse |
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01.05.2021, 16:51 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Richtig. Was bedeutet es geometrisch, wenn man zugleich an beiden Achsen spiegelt? |
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01.05.2021, 16:54 | Enrico21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
punktsymmetrisch zum Ursprung |
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01.05.2021, 16:58 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Orientierung von Matrizen
Richtig. Präziser: Das ist eine Punktspiegelung am Ursprung. |
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