Orientierung von Matrizen

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Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
Orientierung von Matrizen
Hallo zusammen.

Ich habe bei der folgenden Aufgabe Schwierigkeiten(siehe Bild).

Eine Matrix ist gegeben, jedoch dachte ich, dass ich 2 Basen benötige, davon die Darstellungsmatrix berechne und dann schaue, ob die Determinante > oder < 0 ist.

Wie muss ich hier vorgehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Lies mal hier

https://de.wikiversity.org/wiki/Orientie...g/Textabschnitt

das Lemma.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Hi, danke Dir!

Woher sehe ich hier, dass es sich um einen Automorphismus handelt?

Dass heißt ich bestimme hier einfach die Determinante?

Und für (s_x * s_y) sage ich, dass die Determinante > 0 ist, wenn beide Elemente positiv oder negativ sind, und somit dann gleich orientiert sind.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Enrico21
Woher sehe ich hier, dass es sich um einen Automorphismus handelt?

Wenn die Determinante ungleich Null ist, ist die Matrix invertierbar. Eine bijektive kineare Abbildung eines Vektorraums auf sich ist ein Automorphismus.

Zitat:
Dass heißt ich bestimme hier einfach die Determinante?

Ja.

Zitat:
Und für (s_x * s_y) sage ich, dass die Determinante > 0 ist, wenn beide Elemente positiv oder negativ sind, und somit dann gleich orientiert sind.

Ja.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Eine bijektive kineare Abbildung eines Vektorraums auf sich ist ein Automorphismus.


Okay, woher sehe ich das ? verwirrt

also das dies eine bijektive lineare Abbildung ist
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Dass die Abbildung linear ist, kann wohl als bekannt angesehen werden, ergibt sich aber auch aus den Regeln der Matrixmultiplikation. Ebenso ergibt sich daraus



Nun sei invertierbar und es sei , also . Wegen der Linearität ist dann



Nun ist aber



und daher , also . Die Abbildung ist daher injektiv.

kann auf jeden Vektor angewandt werden und es sei



Dann ist



Die Abbildung ist also surjektiv. Injektiv + Surjektiv = Bijektiv.
 
 
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Mir ist noch nicht ganz klar, woran ich erkenne, dass dies eine Abbildung ist, die in den selben Vektorraum abbildet.

wie kann ich die geometrische Bedeutung erklären? Ich weiß, dass eine negative Determinante "negativ orientiert" bedeutet, sprich eine Achse "gespiegelt" ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Enrico21
Mir ist noch nicht ganz klar, woran ich erkenne, dass dies eine Abbildung ist, die in den selben Vektorraum abbildet.

So ist die Aufgabe offenbar gemeint. Man kann ja alles mögliche mit einer Matrix anstellen. Was man mit ihr anstellen soll, kann man der Matrix nicht ansehen.

Zitat:
wie kann ich die geometrische Bedeutung erklären? Ich weiß, dass eine negative Determinante "negativ orientiert" bedeutet, sprich eine Achse "gespiegelt" ist.

Gefordert ist nur die Angabe der Bedeutung dieser 3 Matrizen. Allgemeine Überlegungen sind nicht gefordert.
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
genau das frage ich mich ja, welche Wirkung die Matrizen haben bzw welche geometrische Bedeutung verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Was nützt es, wenn ich dir das vorsage? Beschäftige dich doch mal damit. Was wird bei den Abbildungen aus den Basisvektoren? Was wird aus einem allgemeinen Vektor? Mach dir Beispiele mit konkreten Zahlen.

Die Matrix d) sollte dir bekannt vorkommen. Bei c) gibt es eine gewisse Verwandtschaft mit d).

Ohne Fleiß kein Preis!
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Naja du sollst mir nix vorsagen, mir fehlt einfach der Ansatz.

Zitat:
Was wird bei den Abbildungen aus den Basisvektoren? Was wird aus einem allgemeinen Vektor?


Wenn was passiert? Ich muss doch die Matrix mit irgendwas multiplizieren oder nicht?

Wenn ich bspw. die Matrix a) mit (1,0) multipliziere, entsteht daraus der Vektor (s_x, 0).
Allgemein mit Vektor(x,y) verändert die Matrix a) diesen also zu (s_x*x, s_y,y) verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Enrico21
Wenn was passiert? Ich muss doch die Matrix mit irgendwas multiplizieren oder nicht?

Ja.

Zitat:
Wenn ich bspw. die Matrix a) mit (1,0) multipliziere, entsteht daraus der Vektor (s_x, 0).
Allgemein mit Vektor(x,y) verändert die Matrix a) diesen also zu (s_x*x, s_y,y) verwirrt

Ja.
Jetzt interpretiere das mal geometrisch. Multiplikation mit einem positiven Faktor ist doch einfach eine Steckung/Stauchung. Und was bedeutet ein Minuszeichen geometrisch?
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Enrico21
Wenn was passiert? Ich muss doch die Matrix mit irgendwas multiplizieren oder nicht?

Ja.


Das hilft weiter.

Zitat:

Jetzt interpretiere das mal geometrisch. Multiplikation mit einem positiven Faktor ist doch einfach eine Steckung/Stauchung. Und was bedeutet ein Minuszeichen geometrisch?


Minuszeichen bedeutet geometrisch Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung.
z.B. wird aus dem Vektor (0,5) der entgegengesetzte Vektor (0,-5) -> Spiegelung an der x-Achse
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Enrico21
z.B. wird aus dem Vektor (0,5) der entgegengesetzte Vektor (0,-5) -> Spiegelung an der x-Achse

Richtig.

Was bedeutet es geometrisch, wenn man zugleich an beiden Achsen spiegelt?
Enrico21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Huggy
z.B. wird aus dem Vektor (0,5) der entgegengesetzte Vektor (0,-5) -> Spiegelung an der x-Achse

Zitat:
Richtig.

Was bedeutet es geometrisch, wenn man zugleich an beiden Achsen spiegelt?


punktsymmetrisch zum Ursprung
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orientierung von Matrizen
Zitat:
Original von Enrico21
punktsymmetrisch zum Ursprung

Richtig.
Präziser: Das ist eine Punktspiegelung am Ursprung.
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