Taylorreihe zu Funktionen

01.05.2021, 17:26	timtaylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe zu Funktionen Hallo Die Aufgabe lautet, dass man die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{x}{1+x-2x^2} \end{eqnarray}$ im Entwicklungspunkt 0 bestimmen soll. Da es vermutlich nicht so einfach ist einen Term für die n-te Ableitung zu bestimmen, wollte ich den Weg über bereits bekannte Reihen gehen : Durch PBZ habe ich $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+2x}) \end{eqnarray}$ erhalten. Durch die geometrische Reihe kam ich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+2x}=1-2x+4x^2-8x^3+16x^4-32x^5+... \end{eqnarray}$ Nach Subtraktion dieser Summenterme erhielt ich $\begin{eqnarray} 3x-3x^2+9x^3-15x^4+33x^5-... \end{eqnarray}$ und somit insgesamt : $\begin{eqnarray} g(x)=x-x^2+3x^3-5x^4+11x^5-... \end{eqnarray}$ Kompakter geschrieben wäre mein Vorschlag $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-(-2)^k}{3} \cdot x^k \end{eqnarray}$ Ist das so in Ordnung oder sind da Fehler in meinen Überlegungen ?
01.05.2021, 17:40	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe zu Funktionen Das ist perfekt!

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