Konvergenzbereich einer Reihe

01.05.2021, 20:06	radiuso	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbereich einer Reihe Hallo Gesucht sind alle reellen Zahlen x, für die die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k^2} \cdot x^k \end{eqnarray}$ konvergiert. Mein Ansatz ist das Quotientenkriterium, also das Betrachten von $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{k+1}}{a_k}\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \to \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{k+1}}{a_k}\|=\frac{2^{k+1}}{(k+1)^2} \cdot \frac{k^2}{2^k} \cdot \|\frac{x^{k+1}}{x^k}\|=2 \cdot (1-\frac{1}{k+1})^2 \cdot \|x\| \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} k \to \infty \end{eqnarray}$ strebt dieser Term offenbar gegen $\begin{eqnarray} 2 \cdot \|x\| \end{eqnarray}$ und somit würde die Reihe genau dann konvergieren, wenn 2\|x\| < 1 <=> \|x\| < 1/2 gilt. Demnach lautet der Konvergenzbereich also $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Ferner konvergiert die Reihe aber auch für die Ränder x= -1/2 (Leibniz) und x=1/2 wegen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ , wodurch sich der Bereich zu $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ erweitert und der Konvergenzradius somit R=1/2 beträgt. Sind meine Ideen richtig oder habe ich mich irgendwo vertan ?
01.05.2021, 21:54	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbereich einer Reihe Das sollte alles korrekt sein.
01.05.2021, 21:54	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Es ist ja auch $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{2^n}{n^2}\right)^{1/n}=2 \end{eqnarray}$ - wie man leicht einsieht.

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