Gibt es unendlich viele Paare (a,b) die Lösungen für zwei ungerade Primzahlen p<q liefern?

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Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es unendlich viele Paare (a,b) die Lösungen für zwei ungerade Primzahlen p<q liefern?
Seien zwei ungerade Primzahlen mit . Für welche der folgenden sechs Gleichungen lassen sich unendlich viele Lösungspaare mit finden?

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Für welche der Gleichungen gibt es nur endlich viele Lösungspaare mit ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eldar
Seien zwei ungerade Primzahlen mit . Für welche der folgenden sechs Gleichungen lassen sich unendlich viele Lösungspaare mit finden?

So formuliert klingt das so, als sollte diese Frage nach der Unendlichkeit der Lösungspaare jeweils für fest vorgegebene Primzahlen beantwortet werden - in dem Sinne wäre übrigens die Antwort bei den ersten beiden Gleichungen für alle Paare (p,q) trivialerweise "nur endlich viele Lösungen".

In dem Zusammenhang irritiert mit aber deine Formulierung "mit den resultierenden Primzahlen". Meines Erachtens würde man da eher sagen, dass für p=3,q=307 das Paar (a,b)=(8,3) zur Lösungsmenge gehört. verwirrt
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es geht tatsächlich darum, gibt es unendlich viele Paare , die eine Lösung liefern, so dass das Produkt zweier Primzahlen ist?

Für den zweiten Fall gibt es beispielsweise noch eine Lösung . Eine weitere Lösung wäre .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, es geht also NICHT um die Frage "endlich oder unendlich viele Lösungspaare (a,b) für vorgegebene p,q", sondern stattdessen um die Frage "endlich oder unendlich viele Lösungsquadrupel (p,q,a,b)" der entsprechenden Gleichung - echt verwirrend deine beiden einleitenden Sätze. unglücklich
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt - die Lösungen sind Quadrupel. Sorry für die Verwirrung - sie kam deshalb zustande, weil ich die Variablen und iteriert und dann immer geschaut habe, ob das Produkt aus zwei ungeraden Primzahlen besteht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Art von Hilfestellung oder Antwort erwartest du denn? Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob es für jede der 6 Varianten unendliche viele Lösungsquadrupel gibt. Aber ein Beweis dürfte schwierig sein. Da hilft es nicht, den Computer viele Beispiele finden zu lassen.

Ist das nur eine Spielerei von dir oder gibt es einen tieferen Hintergrund?
 
 
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Beweis für zumindest einen der Fälle wäre ich sehr dankbar.

Der Hintergrund sind elliptische Kurven der (Weierstraß-)Form y^2=x^3-pqx.
Die 6 Gleichungen liefern definitiv Lösungen, was (bewiesen) dazu führt, dass oben genannte Kurven rationale Punkte besitzen. Was ich nicht weiß, ist ob die 6 Gleichungen endlich oder unendlich viele Lösungen hervorbringen. Der Beweis für eine der Gleichungen würde mich schon auf die Sprünge helfen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir mal die erste Variante



Für und ergeben alle aufeinanderfolgenden Primzahlen eine Lösung, deren Differenz ist. Nach der Vermutung von Polignac gibt es sogar für jeden geraden Abstand unendlich viele Beispiele. Bewiesen ist nichts. Nimmt man weitere Werte für und hinzu, verwette ich alle Taler des Universums, dass es unendliche viele Lösungsquadrupel für diese Variante gibt. Nur bringt einen das einem Beweis kein Stück näher.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Das ist schon mal ein wirklich sehr guter Hinweis.

Ich kann mir vorstellen, dass es für die Fälle und ähnliche Beziehungen gibt, die auf die Existenz unendlich vieler Lösungen hindeuten.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir mal . Dann liegt die gaußsche Zahl auf dem Kreis mit Radius .
Wenn p und q kongruent 1 mod 4 sind, dann gibt es genau 16 gaußsche Zahlen, die das erfüllen. Ist p oder q kongruent 3 mod 4, gibt es keine Lösung.
Dazu gibt's ein schönes Video https://www.youtube.com/watch?v=Vv3Rve3yXBY
die o.g. Aussagen findet man nach 14:10

Dann hat man es jetzt mit der Frage zu tun, bei welchen der 16 gaußschen Zahlen c eine Quadratzahl ist.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank - das ist ein sehr interessantes Video. Ja stimmt, eine Lösung habe ich also dann, wenn p und q nicht kongruent 3 mod 4 sind (diese Beziehung ist auch schön in Aigners/Zieglers "Proofs from THE BOOK", S. 21 beschrieben) und die gaußschen Zahlen eine Quadratzahl enthält.
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