[5-adische Zahlen] sqrt(-1) bestimmen

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
[5-adische Zahlen] sqrt(-1) bestimmen
Hallo,

ich soll die Wurzel aus -1 in 5-adischer Darstellung bestimmen.
Nun habe ich also mit einem Skript bestimmt:




und so weiter und das ganze 5-adisch dargestellt. Das ergibt mir











Wie muss ich nun weitermachen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfang stimmt, aber 212^2 mod 5^3 ist 69, per Hand gerechnet. Im übrigen sorgt das Henselsche Lemma für die Wurzeln aus -1 in , weil 2 und 3 Wurzeln aus -1 in sind.

Nachtrag : Die Mühe hätte ich mir auch sparen können, denn 12^2 mod 25 = 19 und nicht 24.

Besser wäre 2,7,57, ...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für die andere Wurzel aus - 1 rechne ich






Das schönste dabei ist das Henselsche Lemma, das die Existenz garantiert. Das bequeme dabei ist, dass nach links die nächste Ziffer stets zwischen 0 und 4 liegt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich erkannt und in deinem Beitrag gelesen, dass deine Entwicklung 5-adisch ist, dann bist du ja auch auf dem richtigen Weg und kannst diesen unendlich weit fortsetzen.

Allerdings hast du dich irgendwie irgendwo verrechnet, denn rechts muss immer stehen, 13233 ist nicht möglich.

Hast du die 5-adische Entwicklung der beiden Wurzeln aus -1 aus der 2 und 3 zusammengeworfen?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen Elvis,

vielen Dank für deine Mühen.

Zitat:
Allerdings hast du dich irgendwie irgendwo verrechnet, denn rechts muss immer stehen, 13233 ist nicht möglich.


Das hatte mich schon gewundert. Danke für den Hinweis!

Nun hatte ich versucht, ein Muster in dieser Entwicklung zu erkennen. Kann ich sagen, welche erste Stelle in der i-ten Berechnung auftreten wird?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man nicht, wie ich am Beispiel der Wurzel versucht habe zu erklären, die mit 3 beginnt. Die jeweils nächste 5-adische Ziffer entsteht dadurch, dass das Quadrat der neuen Zahl kongruent -1 mod 5^n ist und die neue Zahl kongruent der alten Zahl mod 5^(n-1). Die zweite Bedingung ist nach Konstruktion automatisch erfüllt.
 
 
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist meine Frage schon beantwortet.

Vielen Dank für deine Unterstützung!

LG
Maren
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht haben einarmige Mathematiker hier Vorteile, weil sie im 5-er System statt im Dezimalsystem rechnen. Das will ich lieber nicht ausprobieren. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Des Spaßes wegen habe ich es mal 5-adisch probiert, und es klappt erstaunlich gut. 5-adisch quadrieren muss nur genügend Ziffern 4 am Ende haben, damit das Quadrat kongruent -1 modulo 5^n ist, nämlich mindestens n Ziffern 4. Im 5 er-System rechnen geht genauso wie im Dezimalsystem, ist nur ein bisschen gewöhnungsbedürftig. Man spart sich die Konversionen und muss nur jeweils eine Ziffer links anfügen.
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