Vektorraum der Polynome mit ungeradem Grad

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Sophie637483 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum der Polynome mit ungeradem Grad
Meine Frage:
Hallo,

ich soll zeigen, dass es sich bei = { | Der Grad von p ist ungerade} NICHT um einen Untervektorraum handelt. P ist der Vektorraum der Polynome.


Danke!

Meine Ideen:
Das fällt mir sehr schwer, denn wenn ich zwei Polynome der Form miteinander addiere, bekomme ich wieder die Form, Multiplikation mit einem Skalar ist auch kein Problem und der Nullvektor ist auch enthalten. Also meiner Meinung nach ein Untervektorraum. Wo liegt mein Denkfehler?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Sophie,

du sagst, der Nullvektor ist enthalten.
Welche Form hat denn in diesem Fall der Nullvektor?

LG
Maren
Sophie637483 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre der Nullvektor nicht einfach die null selbst, damit es unser neutrales Element bzgl. der Addition ist?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das alleine würde ja schon gegen die Definition der zu untersuchenden Menge sprechen Augenzwinkern

Die anderen beiden Punkte hast du schön ausgearbeitet. Kannst du es formal aufschreiben? Wie sehen zwei Elemente aus? Wie sieht deren Addition und die skalare Multiplikation mit einem Körperelement aus?
Wenn du das aufgeschrieben hast, stelle dir nochmal die Frage, wie der Nullvektor aussieht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man der Frage nach dem Grad des Nullpolynoms ausweichen will, kann man auch einfach betrachten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und diese Antwort von URL widerlegt Sophie637483:

Zitat:
Original von Sophie637483
denn wenn ich zwei Polynome der Form miteinander addiere, bekomme ich wieder die Form


Sophies Beweis muß daher falsch sein.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@URL/@Leopold Unter der Annahme dass ungerade wär...

Tatsächlich gilt es doch, wenn das Nullpolynom als "ungerade" definiert ist. Wenigstens seh ich nichts was dagegen spricht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich jetzt nicht. Der Grad ist doch ungerade verwirrt Es geht nicht um den Graph.
Sophie637483 Auf diesen Beitrag antworten »

[latex] p(x) = \sum\limits_{k=0}^{2n-1} a_k \cdot x^{k} [\latex] und [latex] q(x) = \sum\limits_{k=0}^{2n-1} a'_k \cdot x'^{k} [\latex] wenn ich die beiden nun addiere, bekomme ich: [latex] p(x) + q(x) = \sum\limits_{k=0}^{2n-1} (a_k a'_k) \cdot x^{k} [\latex]
Bei der skalaren Multiplikation: [latex] c \cdot p(x) = c \cdot \sum\limits_{k=0}^{2n-1} a_k \cdot x^{k} [\latex] bekomme ich einfach den Faktor c vor jeden Summanden. Das ist auch kein Problem.

Ich habe den Beweis vorher fast genauso für den Untervektorraum der Polynome mit geradem Grad gemacht. Das soll ein Untervektorraum sein. Deshalb verstehe ich den Ansatz mit dem [latex] x^{3} + x^{2} - x^{3}[\latex] nicht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme meinen Einwurf zurück. Der Grad referenziert ja nur den höchsten "Exponenten" im Polynom.
Sophie637483 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, jetzt kann man es lesen

und wenn ich die beiden nun addiere, bekomme ich:
Bei der skalaren Multiplikation: bekomme ich einfach den Faktor c vor jeden Summanden. Das ist auch kein Problem.

Ich habe den Beweis vorher fast genauso für den Untervektorraum der Polynome mit geradem Grad gemacht. Das soll ein Untervektorraum sein. Deshalb verstehe ich den Ansatz mit dem nicht
URL Auf diesen Beitrag antworten »

gehören beide zu , die Summe aber nicht.
@IfindU: Vielleicht ist deine Interpretation doch die richtige. Ich bin gespannt Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sophie637483
Sorry, jetzt kann man es lesen

und wenn ich die beiden nun addiere, bekomme ich:


Ich vermute, daß das Produkt der Koeffizienten ein Schreibfehler ist. Nun behauptest du, daß die Summe wieder von der Form der vorliegenden Menge ist. Das stimmt aber nicht, wie ja das Beispiel von URL zeigt. Überlege, worin dein Denkfehler besteht. (Im übrigen brauchen die Grade der Summanden nicht übereinzustimmen.)
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